多目标规划法

科学管理的数学方法

多目标规划法（multi objective programming approach）也是运筹学中的一个重要分支，它是在线性规划的基础上，为解决多目标决策问题而发展起来的一种科学管理的数学方法。

方法简介

多目标优化(又称多目标规划、向量优化、多准则优化、多目标优化或帕累托优化)是多目标决策的一个领域，它涉及到多目标函数的优化问题，同时也是多目标优化问题。多目标优化已经应用到科学的许多领域，包括工程、经济和物流，在两个或更多冲突的目标之间存在取舍时，需要采取最优决策。在购买汽车时尽量减少成本，同时最大限度地发挥舒适度，同时最大限度地降低汽车的油耗和污染物排放，是多目标优化问题的例子，涉及两个和三个目标。在实际问题上，可以有三个以上的目标。对于一个非平凡的多目标优化问题，没有单一的解决方案同时优化每一个目标。在这种情况下，目标函数是相互冲突的，并且存在一个(可能是无穷数)的帕累托最优解。一个解决方案称为非劣解，帕累托最优，帕累托有效或非劣效性，如果没有一个目标函数在价值上可以得到改进，而没有降低其他客观值。如果没有额外的主观偏好信息，所有帕累托最优解都被认为是相当好的(因为向量不能完全有序)。研究人员从不同的角度对多目标优化问题进行了研究，在建立和解决这些问题时，存在着不同的解决方法和目标。其目的是寻找一组代表性的帕累托最优解，并/或量化在满足不同目标的权衡取舍，以及/或找到一个满足人类决策者主观偏好的单一解决方案。

提出和形式

多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。

多目标规划是指含有多个目标函数的规划问题。在数学中，多目标规划法可以写成下面的形式：

其中k≥2，是指目标函数的个数，集合X是一组可行的决策向量集。可行集通常由一些约束函数定义。此外，向量值目标函数通常被定义为：。

元素被称为可行的解决方案或可行的决定。对可行解x*得到的向量称为目标向量或者是结果。

在多目标优化中，通常没有一种可行的解决方案，使所有目标函数同时最小化。因此，应注意帕累托最优解决方案，即在任何目标中都不能改进的解决方案，而不损害至少一个目标。

标准型特点

与线性规划相比，多目标规划标准型的特点在于：

1、偏差列向量 Y − 、Y + 。Y − 、Y + 分别为负、正偏差列向量，各有 m个元素 Y − 、y + 。…与，…，（m是约束方程的个数）。负偏差变量的经济含义为当实际值小于目标值时，实际值与目标值的偏差为负偏差，正偏差变量的经济含义与之恰恰相反。

2、价值系数行向量c。c的元素最多不超过 2m个，由目标优先权等级 Pi和目标优先权系数η组成，即 c = (c1,c2…，c2m）=（），在多目标规划的目标函数中，出现的变量只能是偏差变量。也就是说，列向量 y以正偏差变量和负偏差变量为元素。目标优先权等级 Pi既不是变量，也不是常数，它只是说明不同目标实现的先后顺序，这种优先等级的确定一般是由企业决策部门根据企业具体情况及各目标的轻重缓急加以确定的。而目标优先级系数，则说明同一优先级目标相互之间的比例关系。

基本解法

多目标规划的解法主要有单纯形法和图解法。图解法一般只适用于两个决策变量的情形。单纯形法对于求解多目标规划有普遍意义。

由于多目标优化问题通常存在多个帕累托最优解，解决这类问题的方法并不像传统的单目标优化问题那样简单。因此，不同的研究者对“解决多目标优化问题”这一术语进行了不同的界定。本节概述了其中一些和使用它们的上下文。许多方法将原问题与多目标转化为一个单一目标优化问题。这被称为一个标量化问题。如果标量化做得很好，可以保证所获得的解的帕累托最优性。求解多目标优化问题，有时被理解为逼近或计算所有或有代表性的帕累托最优解集。在强调决策的过程中，解决多目标优化问题的目标是支持决策者根据自己的主观偏好寻找最优的帕累托最优解。基本假设是，必须确定一个解决问题的办法，以便在实践中加以实施。在这里，一个人类决策者扮演着重要的角色。预计dm将成为问题领域的专家。最喜欢的结果可以用不同的哲学来找到。多目标优化方法可分为四类。在所谓的“不偏好”方法中，预计不会有dm，但在没有偏好信息的情况下，确定了一个中立的折衷解决方案。其他类都是所谓的先验、后验和交互方法，它们都以不同的方式从dm中涉及偏好信息。在先验的方法中，首先从dm中提出偏好信息，然后找到最满意这些偏好的解决方案。在后验方法中，首先发现了一组代表性的帕累托最优解，然后再选择其中一组。在交互方法中，允许决策器迭代搜索最优先的解决方案。在交互方法的每一次迭代中，dm都得到了帕累托最优解，并描述了解决方案的改进。然后在生成新的帕累托优化解的同时考虑决策者给出的信息，以便在下一次迭代中学习。这样，dm就能了解他/她的愿望的可行性，并能集中精力解决他/她所感兴趣的解决方案。每当他/她想要的时候，dm就可以停止搜索。下面几节中给出了四个类中不同方法的更多信息和示例。

目标优先权排序 P1,P2，…，PN给出了单纯形迭代过程中实现目标的顺序。在实现某一优先级目标后，应依顺序考虑一个优先级能否实现。但是，不能为实现较低目标而使较高级目标的实现受到影响。

主要应用领域

多目标规划的概念是 1961年由美国数学家查尔斯和库柏首先提出的。至今有些理论问题尚在探讨之中，应用范围还不如线性规划广泛。在资源分配、计划编制、生产调度等方面有一定的’应用。但是，作为一种决策方法，多目标规划的应用前景还是很乐观的。企业决策者掌握和运用这种方法将有助于提高管理和决策水平。

经济学

在经济学中，许多问题涉及多个目标，同时限制了可实现哪些目标的组合。例如，消费者对各种商品的需求是由最大化这些商品所产生的公用事业的过程决定的，受制于基于可用于这些商品的收入以及这些商品的价格的限制。这种约束允许更多的一件商品只能在牺牲另外一种商品的情况下被购买;因此，各种目标（每个商品的消费更多是首选）是相互矛盾的。分析这种问题的常用方法是使用表示偏好的无差异曲线图和预算约束，表示消费者面临的权衡。

另一个例子涉及生产可能性的前沿，它规定了具有一定数量的各种资源的社会可以生产各种类型的商品的组合。边界规定了社会所面临的权衡 - 如果社会充分利用资源，只有以牺牲另外一个好成本为代价才能产生更多的一个好处。一个社会必须采取一些过程来选择边界的可能性。

宏观经济决策是需要多目标优化的一个环境。通常，中央银行必须为货币政策选择平衡竞争目标的态度 - 低通货膨胀率，低失业率，低余额的贸易逆差等。为此，中央银行使用经济模型，定量描述各种因果关系在经济中它在货币政策的各种可能的情况下反复模拟模型，以便获得各种感兴趣变量的可能预测结果的菜单。那么原则上，它可以使用总目标函数对预测结果的替代集合进行评估，尽管实际上中央银行使用非定量的，基于判断的流程来排列替代方案并做出政策选择。

财经

在财务方面，一个常见的问题是当有两个冲突的目标时，选择一个投资组合 - 希望将投资组合回报的预期价值尽可能高，并且希望有风险，往往以投资组合回报的标准差来衡量，尽可能低。这个问题通常由一个图表示，其中有效边界显示了可用的风险和预期回报的最佳组合，其中无差异曲线显示投资者对各种风险预期回报组合的偏好。优化期权价值（第一时刻）的功能和投资组合回报的标准差（第二中心时刻的平方根）的问题称为两时决策模型。

最佳控制

在工程和经济学方面，许多问题涉及多个目标，不能被描述为更好或更好的;相反，每个目标都有一个理想的目标值，并且希望尽可能接近每个目标的期望值。例如，能源系统通常在性能和成本之间取舍，或者可能想要调整火箭的燃料使用和方向，使其在指定的地点和指定的时间到达;或者可能想进行公开市场操作，以使通货膨胀率和失业率都尽可能接近他们所期望的价值。

通常，这些问题经受线性等式约束，从而阻止所有目标同时完全满足，特别是当可控变量的数量小于目标数量以及随机冲击的存在产生不确定性时。通常使用多目标二次目标函数，其中与客观物体的距离与其理想值的二次方成正相关的成本。由于这些问题通常涉及在各个时间点调整受控变量和/或评估各个时间点的目标，因此采用跨期优化技术。

最佳设计

使用现代建模，仿真和优化技术可以大大提高产品和工艺设计。最佳设计的关键问题在于衡量设计的好坏。在寻找最佳设计之前，重要的是确定对设计总体价值最有价值的特性。良好的设计通常涉及多个标准/目标，如资本成本/投资，运营成本，利润，质量和/或产品回收率，效率，工艺安全性，操作时间等。

例如，在设计造纸厂时，可以减少造纸厂投入的资金，同时提高纸张的质量。如果造纸厂的设计是由大量存储量定义的，纸质量由质量参数定义，则造纸厂最佳设计的问题可以包括以下目标：i）将这些质量参数的预期变化从其最小化名义值，ii）最小化预期的休息时间，以及iii）最小化存储量的投资成本。在这里，最大塔数是设计变量。造纸厂优化设计的这个例子是使用的模型的简化。工程系统中也实现了多目标设计优化 - 例如。纳米CMOS半导体的设计、太阳能灌溉系统设计、砂模系统优化、发动机设计、优化传感器部署、和最优控制器设计。

流程优化

化学工程越来越多地采用多目标优化。 2009年，Fiandaca和Fraga采用多目标通用算法（MOGA）来优化变压吸附过程（循环分离过程）。设计问题涉及氮回收和氮纯度的双重最大化。结果提供了帕累托前沿的良好近似，在目标之间具有可接受的权衡。

2010年，Sendín等解决了食品热处理的多目标问题。他们用非线性动力学模型处理了两个案例研究（双目标和三目标问题），并采用了加权Tchebycheff和Normal Boundary Intersection方法组合的混合方法。新型混合方法能够构建食物热处理的帕累托最优集。

2013年，Ganesan等进行甲烷二氧化碳重整和部分氧化的多目标优化。目标函数是甲烷转化率，一氧化碳选择性和氢气与一氧化碳的比例。 Ganesan使用正交边界交叉（NBI）方法结合两种基于群的技术（重力搜索算法（GSA）和粒子群优化（PSO））来解决这个问题。

涉及化学提取和生物乙醇生产工艺的应用提出了类似的多目标问题，得到了解决。

在2013年，Abakarov等人提出了一种替代技术来解决食品工程中出现的多目标优化问题。使用聚合函数方法，自适应随机搜索算法和惩罚函数方法来计算非主导或帕累托最优解的初始集合。同时使用分析层次过程和表格方法来选择渗透脱水过程的非主导解决方案的计算子集中的最佳替代方案。

无线电资源管理

无线电资源管理的目的是满足蜂窝网络用户请求的数据速率。主要资源是时间间隔，频率块和发射功率。每个用户都有其自己的目标功能，例如，可以表示数据速率，延迟和能量效率的某种组合。这些目标是矛盾的，因为频率资源非常稀缺，因此需要紧密的空间频率重用，如果不能正确控制，则会引起巨大的用户间干扰。多用户MIMO技术现在用于通过自适应预编码来减少干扰。网络运营商希望既能获得极高的覆盖率和高数据速率，因此运营商也希望找到一种以适当的主观方式平衡总网络数据吞吐量和用户公平性的帕累托最优解决方案。

无线电资源管理通常通过标量化来解决;也就是说，选择一个尝试平衡吞吐量和用户公平性的网络效用函数。效用函数的选择对结果单目标优化问题的计算复杂度有很大的影响。例如，加权和速率的共同效用给出了NP-hard问题，复杂度随着用户数量呈指数级数增长，而加权最大最小公平效用导致了仅具有多项式缩放的准凸优化问题，用户数量。

电力系统

通过交换系统要素之间的功能联系，重新配置是可以提高配电系统运行性能的最重要措施之一。通过配电系统的重构，在其定义方面的优化问题是一个历史性的单一客观现象。

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