多项分布

二项式分布的推广

多项式分布（Multinomial Distribution）是二项式分布的推广。

定义

如果一个随机向量X=(X1，X2，…，Xn)满足下列条件：

(1)Xi≥0(1≤i≤n)，且X1+X2+…+Xn=N；

(2)设m1，m2，…，mn为任意非负整数，且m1+m2+…+mn=N，则事件

{X1=m1，X2=m2，…，Xn=mn)的概率为

则称随机向量X=(X1，X2，…，Xn)服从多项分布，记作X～PN(N：p1．p2，…，pn)。

多项分布是二项分布的推广。在一座大城市中，若男性在总人口中的比例为p，今从

城市中随机抽N个人，用X表示其中男性的数目，则X～B(N，p)、，类似地，在一座城市

中，若将人口按照年龄分成n组，这n组人在总人口中各占的比例分别为p1，p2，…，

)，今从城市中随机抽N个人，用(X1，X2，…，Xn分别表示这N个人中每个年龄

组的人数，则X=(X1，X2，…，Xn)服从多项分布。

举例

更一般性的问题会问：“点数1~6的出现次数分别为(x1,x2,x3,x4,x5,x6)时的概率是多少？其中sum(x1~x6）= n”。这就是一个多项式分布。

把二项扩展为多项就得到了多项分布。比如扔骰子，不同于扔硬币，骰子有6个面对应6个不同的点数，这样单次每个点数朝上的概率都是1/6（对应p1~p6，它们的值不一定都是1/6，只要和为1且互斥即可，比如一个形状不规则的骰子），重复扔n次，如果问有x次都是点数6朝上的概率就是：。更一般性的问题会问：“点数1~6的出现次数分别为(x1,x2,x3,x4,x5,x6)时的概率是多少？其中sum(x1~x6）= n”。这就是一个多项式分布问题。这时只需用上边公式思想累乘约减就会得到下面图1的概率公式。

某随机实验如果有k个可能结局A1、A2、…、Ak，分别将他们的出现次数记为随机变量X1、X2、…、Xk，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，那么在n次采样的总结果中，A1出现n1次、A2出现n2次、…、Ak出现nk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

用另一种形式写为：

公式应用

概率公式

这就是多项分布的概率公式。把它称为多项式分布显然是因为它是一种特殊的多项式展开式的通项。

我们知道，在代数学里当k个变量的和的N次方的展开式(p1+ p2+…+ pk )^N 是一个多项式，其一般项就是前面的公式给出的值。如果这k个变量恰好是可能有的各种结局的出现概率，那么，由于这些概率的合计值对应一个必然事件的概率。而必然事件的概率等于1，于是上面的多项式就变成了 (p1+ p2+…+ pk )^N =1^N=1, 即此时多项式的值等于1。

因为(p1+ p2+…+ pk )^N的值等于1, 我们也就认为它代表了一个必然事件进行了N 次抽样的概率（=1，必然事件）。而当把这个多项式可以展开成很多项时，这些项的合计值等于1提示我们这些项是一些互不相容的事件（N次抽样得到的）的对应概率, 即多项式展开式的每一项都是一个特殊的事件的出现概率。于是我们把展开式的通项作为A1出现n1次，A2出现n2次，…，Ak出现nk次的这种事件的出现概率。这样就得到了前面的公式。

如果各个单独事件的出现概率p1，p2，…，pk都相等，即p1=p2=…=pk=p（注意这里是小写的p），注意到p1+p2+…+pk =1，就得到p1= p2 =…=pk =p=1/k。把这个值代入多项式的展开式，就使展开式的各个项的合计值满足下式：

∑[ N!/(n1!n2!…nk!)](1/k)^N=1

即 ∑[ N!/(n1!n2!…nk!)]=k^N

以上求和中遍及各个ni的一切可能取的正整数值，但是要求各个ni的合计值等于N。即 n1+n2+…nk=N.

应用

用于处理一次实验有多个可能的结果的情况。

在热力学讨论物质微观状态的可能个数时，经常用另外的思路引出N!/(n1!n2!…nk!)式。并且称它为热力学几率。它是一个比天文数字还大很多的数，把它称为几率（概率）并不妥当。但是热力学里由于各个微观状态的出现概率相等，这对应我们在前面讨论的p1= p2 =…=pk =p=1/k，于是 [N!/(n1!n2!…nk!)]（1/k^N）就真正具有数学上的概率的含义。换句话说，物理学里的热力学几率[N!/(n1!n2!…nk!)]乘上（1/k^N）以后就是数学中定义的（具有归一性）的概率了。

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