奇异系统

一种系统描述形式

奇异系统，又称广义状态空间系统、描述变量系统或半状态系统。奇异系统是一类比正则系统具有更广泛适用度的系统描述形式，包含微分方程(连续系统)或差分方程(离散系统)描述的慢变子系统，以及代数方程描述的快变子系统。它可以方便地用于描述实际中的许多系统,如电网系统、奇异摄动系统、Leontief模型、化工过程、核能源反应系统等等。

奇异系统简介

奇异系统(singular systems)是一类由微分及代数方程综合描述的系统，它在结构形式上比仅由纯微分方程或差分方程描述的正则系统多了代数方程描述部分。由于研究领域的不同，奇异系统又被不同领域的学者冠以不同的称呼，例如广义状态空间系统、描述系统等等。由于奇异系统描述比正常系统多了代数方程描述部分(快变子系统)，因此，奇异系统的适用度比正常系统要广泛得多。通过系统适当地变换，奇异系统也可以描述成正则系统，但是，许多原有系统的物理特性在变换后有可能会丢失。

最早的奇异系统模型是由学者Ardema在1962年通过研究航天器的动力模型过程中提出的。后来，Rosenbrock在研究复杂的电网系统时，发现电网中某些部件突然失效，在失效的前后时刻有电流的瞬动现象产生，这种瞬间变化的现象不包括在常见正则系统描述之中，在经过大量的研究及实验后，建立了电网系统的奇异模型。自此以后，广大研究爱好者对奇异系统展开了广泛地研究，并且获得了许多非常有价值的理论成果。由于奇异系统适合于描述规模较大且非常复杂的系统，因此，自上世纪八十年代开始奇异系统被非常广泛地用于奇异摄动系统、电子网络系统、决策系统、复杂大规模系统等各个领域。随着广大学者研究的不断发展和深入，许多可以由奇异系统描述的实际系统不断被发现。例如,受限机器人、纽曼模型、Leontief模型、非因果系统、核反应堆等均是典型的奇异系统。

目前，虽然大量的学者在奇异系统相关理论中取得了许多的理论研究成果，但是仍旧有不少的奇异系统理论分析与实际应用上的问题需要研究及解决。例如目前仍然没有获得时变奇异系统显式解等，同时，仍有许多研究成果令人不太满意，如时变时滞系统的稳定与镇定等。

奇异系统的分类

奇异系统包括连续时间奇异系统(或称连续奇异系统)及离散时间奇异系统(或称离散奇异系统)。连续时间奇异系统描述形式可表达如下：

其中，为状态变量；矩阵可能奇异，且有。

离散时间奇异系统描述形式可表达如下：

其中，为状态变量；矩阵可能奇异，且有。

典型的奇异系统

典型的奇异系统有Leontief经济模型、神经网络模型、Hopfield神经网络模型、飞机的传动系统振动衰减摸型和奇异形式的电子网络模型等。下面就其中几种举例说明。

Leontief经济模型

考虑如下Leontief经济模型：

其中代表模型中的产品总量，代表模型中的产品最终量；L及C分别为模型中的消耗矩阵与资本矩阵。且有

由于模型中C奇异，因此上述模型可描述成如下离散奇异系统形式：

神经网络模型

其中，为神经网络的状态变量，为对应神经细胞的生存期，为对应神经细胞的接受能力，s代表神经元的输入，为神经网络的连接权值，为的L 个无序子集。可见，本例是典型的奇异大系统。

Hopfield神经网络模型

其中，

为系统状态向量；、为两个加权矩阵。由于该系统中存在非线性函数、，因此，该系统是包含非线性属性的奇异系统。

奇异系统的性质

与仅由微分或差分方程描述的正则系统相比较，可以发现奇异系统具有如下性质：

(1)奇异系统状态的解不仅包括指数解而且还包括静态解以及脉冲解；

(2)奇异系统一般均包括慢变子系统及快变子系统两部分，其中慢变子系统的动态特性由微分方程(连续系统)或者差分方程(离散系统)描述，快变子系统的静态特性由代数方程描述。静态特性是正则系统所没有的。

(3)与正则系统传递函数不同之处为奇异系统传递函数中还包含着多项式描述的部分。

(4)奇异系统的解不仅由过去结果和当前的输入决定，有时还与系统将来的输入有关系，也就是说，奇异系统常具有非因果特性。

(5)奇异系统有可能不存在齐次初值的解，有的时候即使存在也有可能不是唯一的。

由于奇异系统的以上特点，使得其比只由微分方程构成的正则系统描述的范围宽广得多，现已被广泛应用于经济学、大规模复杂系统等各个领域。

奇异系统的研究方法

目前奇异系统的研究方法主要包括多项式法、几何法和状态空间法。前面两种方法都属于频域中的分析方法。

几何方法是在十九世纪八十年代由Wonham提出，并由Lewis推广，其主要方法是将系统的综合问题拆分成基本的理论及系统反馈控制器设计两个部分。几何方法在描述系统的结构上能够做到更深入。但是同样也存在许多缺陷，例如当系统出现参数摄动时，不能分析系统的鲁棒性。

多项式法同时又称为代数方法，主要通过传递函数的因式分解将系统分解为非真因子和真因子。不足之处是此方法必须基于保持相同的稳定裕度的基础之上才能进行系统镇定控制器设计,否则无法实现。

状态空间法，同时又称为时域法，是在现代控制理论中建立起来的基于系统状态空间描述的系统分析与综合方法。主要基于矩阵的运算实现分析系统稳定性与设计相应控制器的目的。所使用的方法主要包括系统模型变换、自由权矩阵、Lyapunov函数、有界交叉项、二次型的积分不等式、线性化技术、线性矩阵不等式(LMI)等方法。

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