对合分布

微分几何概念

对合分布(involutive distribution)是一类特殊的分布。黎曼几何的重要概念。指微分流形切丛的一个子丛。黎曼几何是微分几何的一个重要分支，由德国数学家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)于19世纪中期所开创。他于1854年在哥丁根大学所做的就职演说“关于几何学基础的假设”是黎曼几何的发端。

定义

纤维丛定义

设D为光滑流形M的光滑分布。若给定D的任何一对光滑局部截面，其李括号也是D的局部截面，则称D是对合分布。

微分几何定义

设为光滑分布，若X与Y是中的光滑向量场，有[X,Y]∈，则称是对合分布。

性质

设Δ为M的k维对合分布，则Δ为完全可积分布，即对∀p∈M，存在坐标卡(U,φ)，φ(p)=0，φ(U)=(-1,1)n，满足对任意ak+1,...,an∈I=(-1,1)，切片{q∈U|φk+1(q)=ak+1,...,φn(q)=an}为Δ的积分流形。且Δ的任意包含于U的连通积分流形均为该形式。

概念

对合分布(involutive distribution)是一类特殊的分布。Ck流形M上l维对合分布Dl具有下述的特征性质：对于M的每一个点，都有一个邻域U及Dl在U上的一组C局部基向量场X1，X2，…，Xl，使得[Xi，Xj](1≤i，j≤l)在U上都属于Dl。这时也称分布Dl是对合的。[Xi，Xj]属于Dl等价于它们都是X1，X2，…，Xl的线性组合，即[Xi，Xj]=μhijXh，μhij∈C(U) (i，j，h=1，2，…，l)。能选到一组局部基向量场使得μhij≡0。分布是对合的也意味着对于任意两个属于Dl的Cr向量场X，Y，其李括号[X，Y]也属于Dl。

微分流形

微分流形（differentiable manifold），也称为光滑流形（smooth manifold），是拓扑学和几何学中一类重要的空间，是带有微分结构的拓扑流形。微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧式空间中曲线和曲面概念的推广，可以有更高的维数，而不必有距离和度量的概念。

具体说来，设M是一个Hausdorff空间。U是M的开集，h是U到n维欧氏空间R的开集(常取为单位球内部或立方体内部等等)上的一个同胚映射，则(U，h)称为一个坐标图，U称为其中点的一个坐标邻域。设M为开集系{Uα}所覆盖，则(Uα,hα)的集合称为M的一个坐标图册。如果M的坐标图册中任何两个坐标图都是C相关的(坐标图册应该是极大的，即若任一坐标图与坐标图册中每一个坐标图都相容则其自身也属于坐标图册)，则称M有C微分结构，又称M为n维的C微分流形。C相关是指流形M上同一点的不同坐标之间的变换关系是C可微分的(k=0,1,…,∞或ω)，依通常记号C表示解析函数。具体来说，如p∈Uα∩Uβ,(x,）(x)(i=1,…,n)分别是p在两个坐标图(Uα,hα)，(Uβ,hβ)下的(局部)坐标，即那么它们之间的关系式可表为：

而ƒ关于x（j=1,2，…，n）具有直到k次的连续导数。k=0时，M是拓扑流形；k>0时，就是微分流形；k=ω时，是解析流形。C流形又常称为光滑流形。

如果微分流形M是一个仿紧或紧致拓扑空间，则称M为仿紧或紧致微分流形。如果可选取坐标图册使微分流形M中各个坐标邻域之间的坐标变换的雅可比行列式都大于零，则称这个流形是可定向的。球面是可定向的，麦比乌斯带是不可定向的。

同一拓扑流形可以具有本质上不同的微分结构。米尔诺（John Milnor）首先发现作为一个拓扑流形，七维球面上可有不同于标准微分结构的怪异微分结构。后来弗里德曼（Michael Freedman）等得出如下的重要结果：四维欧氏空间中也有多种微分结构，这与其他维数的欧氏空间只有惟一的微分结构有着重大区别。

分布

黎曼几何的重要概念。指微分流形切丛的一个子丛。流形M上的l维分布Dl是对M的每点指定其切空间中一个l维子空间，即Dl：M→TM，p→Dl(p)Tp(M)，其中Dl(p)是Tp(M)的l维子空间。记：

Dl称为M上的l维切子丛。若M的每一个点都有一个邻域U及U上l个Cr向量场X1，X2，…，Xl，使得对于U中的任意点q，X1(q)，X2(q)，…，Xl(q)是Dl(q)的一组基，则称Dl是Cr的，而称X1，X2，…，Xl是Dl的局部基(向量场)，或说它们在U上张成Dl。

黎曼几何

微分几何的一个重要分支，由德国数学家黎曼(Riemann，(G.F.)B.)于19世纪中期所开创。他于1854年在哥丁根大学所做的就职演说“关于几何学基础的假设”是黎曼几何的发端。后经克里斯托费尔(Christoffel，E.B.)、里奇(Ricci，C.G.)、列维-齐维塔(Levi-Civita，T.)等人进一步完善和发展，成为爱因斯坦(Einstein，A.)于1905年创立广义相对论的有力数学工具，也使黎曼几何得以蓬勃发展。嘉当(Cartan，E.)建立的外微分形式和活动标架法，使李群与黎曼几何沟通起来，为黎曼几何的发展开辟了广阔的前途，影响极为深远。近半个世纪以来，黎曼几何的研究从“局部”发展到“整体”，产生了许多深刻的并在其他数学分支(如拓扑学、偏微分方程论、多复变函数论等)及理论物理中有重要影响的结果。黎曼几何已成了现代数学的重要内容之一。

黎曼几何是黎曼流形上的几何学，黎曼流形是局部欧氏化的微分流形。设M是n维微分流形，若在每点p∈M的切空间中给定一个光滑依赖于p的欧氏度量gp(即正定数积)，则(M，g)就成为黎曼流形，g称为黎曼度量。当g与点p无关时，就得到通常的欧氏空间。黎曼的杰出创造之处就在于把度量看成是附加到流形上去的一个结构，一个流形可赋予众多的黎曼度量。

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