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对角矩阵

数学名词

对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。

定义
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。对角线上元素相等的对角矩阵称为数量矩阵；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵。
（1）对角矩阵形如：
（2）对角矩阵可以记作：。
（3）当时，对角阵称为数量矩阵。
（4）当时，叫做单位矩阵，记作E，有。
运算规律
和差运算
同阶对角阵的和、差仍是对角阵，有：
数乘运算
数与对角阵的乘积仍为对角阵，有：
乘积运算
同阶对角矩阵的乘积仍为对角阵，且它们的乘积是可交换的，有：
矩阵条件
充要条件
n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明过程：
（1）必要性。
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个列向量为，则有
因而，因为P为可逆矩阵，所以为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于特征值的特征向量。
（2）充分性。
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为，对应的特征值分别为，则有，以这些向量为列构造矩阵，则P可逆，且，其中C如下：
即。
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。
说明：当A的特征方程有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。
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