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导数

微积分中的重要基础概念

导数（Derivative），也叫导函数值。又名微商，是微积分中的重要基础概念。当函数y=f（x）的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作 f’(x0) 或df(x0)/dx。

定义
一般定义
设函数在点x0的某邻域内有定义，若极限
存在，则称f在点x0处可导，并称该极限为函数f在点x0处的导数，记作。
令，，则上式可改写为
若函数在区间（在端点上只考虑单侧导数）上的每一点都可导，这样就定义了一个在上的函数，称为f在上的导函数，也简称导数，记作，即
导数的几何意义
当函数的定义域和值域都是ℝ的子集时，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。设在点的切线斜率是k，正是割线斜率在时的极限：
所以曲线在点处的切线方程是：
导数与微分
导数的另一个更加详细（但比较晦涩）的定义（与前面完全等价）如下：
考虑定义在集合上的函数，若该函数在的极限点处存在一个关于自变量的增量的线性函数，使得当时，函数的增量表示成：
该线性函数叫做函数f在点a的微分，表示的数值不为0，但与x-a相比是无穷小量。
注：极限点的定义如下：
点称为集合的极限点，，如果对于点a的任意邻域，集合是无限集。
由于函数在一点的微分是唯一确定的，可以推出：
定义为函数f在点a处的导数。
若函数可微，其微分等于导数乘以自变量的微分。换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数，因此导数也叫作微商。对于一元函数来说，函数可微与可导是完全等价的。
导数的记号
从微积分发明至今，数学家们曾使用过不同的记号来表示函数的导数。部分记号至今仍然使用，成为现代的通用记法。
牛顿的记号
作为微积分的发明人之一，牛顿将导数用函数符号上方的点来表示。例如的导数就记作，而二阶导数则记为。在牛顿的记法中没有明确自变量，因此y对x的导数在牛顿的著作中也会被记成，因为这可以理解为两个函数y对x对于另一个变量t的导数比。而这个导数比（使用莱布尼兹的记号）为：
牛顿的记号多见于物理学或与之有关的方面。在一些物理学教材中仍会使用函数符号上加一点来表示某一变量的变化率（如使用来表示加速度等）。
牛顿的记法难以管理高阶导数（4阶或更高阶），并且无法处理多个独立变量。
莱布尼茨的记号
一个今天经常使用的记号是莱布尼茨记号。令，按照莱布尼茨的记号其导数写作。用表示n阶的导数（这是导数算子的一个缩写），比如。莱布尼茨符号的一个好处是在分母中明确了微分的自变量，另一个好处是便于记忆导数的运算法则，如链式法则用莱布尼茨的符号就是：
拉格朗日的记号
拉格朗日的记号是在函数的右上角加一短撇表示导数。例如的导数就记作或。2阶和3阶导数记为，和，。如果需要处理更高阶的导数，则用、表示n阶导数。
其他记号
另一个记号是D-符号，的一阶导数写作，高阶导数则用上标表示，如n阶导数是，如果要表示偏导数，被微分的变量用下标表示。例如给定函数，它对x的偏导数写作或。高阶偏导数可以用上标和多个下标来表示，如，。
这个记号的一个弊端是：出于和傅里叶变换有关的原因，一些书中会记。由此容易引起混淆。
函数可导的条件
单变量函数
对于单变量函数来说，可微和可导是完全等价的，若函数在点x0的某邻域上有定义，则存在的充要条件是的左右导数，即和都存在且。
下面给出一个函数可导的必要条件。
若函数f在点x0处可导，则f在点x0处连续。
证明：设在点x0处可导，则是当时的无穷小量，于是也是无穷小量，即
这说明当时，。
于是在点x0连续。
注：若f在点x0处连续， f在点x0处不一定可导，比如以下两个例子：
例1：函数在x=0处不可导。
原因是
;,
其左极限与右极限不等，于是f在x=0处不可导。
例2：处处连续且处处不可导的函数存在。
如魏尔斯特拉斯函数：
其中a,b是常数，，b为正奇数且。这个函数是处处连续且处处不可导的，其函数图像如下：
多变量函数
本段将讨论多变量函数在一点的可微性，连续性和偏导数的存在性之间的相互关系。函数在一点可微，则它在此点连续。但其逆命题是错误的，例1和例2已经说明。
对于多变量函数，函数在定义域内点的可微性保证了它在此点关于每个变量的偏导数的存在性，但相反的命题是不对的，比如以下反例：
例3：函数在点(0,0)处的两个偏导数是
但是这个函数在点处不可微，因为它间断。
导数的性质
单调性
如果一元函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点x0，如果存在邻域使得在上对一切有
则称函数f在x取得极大（小）值，称点x为极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
凹凸性
可导函数的凹凸性与其导函数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增（减），那么在这个区间上函数是向下（上）凸的，称为下（上）凸函数。专业的说，下凸函数也称凸函数。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凸的，反之这个区间上函数是向上凸的。
公式
初等函数的导数
这里将列举15个基本初等函数的导数：
例：定义在ℝ上的函数求导的具体步骤：
于是得到。
导数计算法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导.基本的求导法则如下，若函数和可导，则：
;。
推论：（这里c为常数）;
（在v不等于0处方有意义）。
原函数与反函数的导数关系
设为的反函数，且与都可导，则
复合函数的导数
若可导，可导，则复合函数可导，且
复合函数的求导公式也称为链式法则，复合函数在点x的求导公式一般也写作
对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数可以反复应用上式而得。
参变量函数的导数
平面曲线C的一般表达形式是参变量方程
若具有反函数，那么它与构成一个复合函数
若函数可导，且（因而当时也有和），由复合函数和反函数的求导法则得到
高阶导数
函数的二阶和二阶以上的导数都称为高阶导数，函数f在点x0处的n阶导数记作
相应地，n阶导函数记作
这里也可记为.
多元函数的导数
向量值函数的导数
当值域不再是实数，而是中的向量时，仍然可以求导，考虑，，，其导函数
偏导数
考虑多元实值函数，，若它在E的内点可微，用坐标形式表示点，向量，
定义
由上式得到
，当时。
类似地可以得到
，当时。
其中定义为函数在点关于变量的偏导数。
它的符号为，，，。
函数f在所有方向的偏导数组成的向量称为梯度，有下面的坐标形式
全导数和雅可比矩阵
考虑映射，在点可微，f 的坐标函数在点 x 处的偏导数组成的矩阵称为映射f在点x的雅可比矩阵（Jacobian matrix）：
方向导数
如果函数f定义在点的邻域中，而是在点处的向量，则称
为函数f在点沿向量 v 的导数（如果极限存在的话）。
其坐标形式为
特别地，对于基底向量，由上述公式可得
我们可以用方向导数来阐明向量的几何意义。
设是单位向量，，则
其中是向量e与基底向量之间的夹角。
复变函数的导数
对于定义域为复数的函数，也可以定义导数的概念。设Ω是ℂ上的开集，函数在上全纯（holomorphic）如果当h→0时，称为f在处的导数。
应用
物理学、几何学、工程科学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
比如在物理学中导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度。一物体在时刻的瞬时速度可以表示为这里表示位移。
在时刻的加速度则是在处的二阶导。
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