射影代数簇

数学术语

Pn(C)的一个子集，若它可以表示为定义在Cn+1中一组齐次多项式公共零点的集合，则称它为射影代数簇，简称代数簇，也可称它为Pn(C)的代数子集。

基本介绍

代数簇(algebraic variety)是代数几何的基本研究对象。设k是一个域，域k上的代数簇就是一个整的、分离、有限型k概形，这里的基域k往往被取作代数闭域。若一个代数簇又是射影、拟射影、仿射或正常k概形，则把这个代数簇相应地称为射影、拟射影、仿射、完备(代数)簇。射影簇必定是完备簇，反之则不然。永田定理断言：对任意的代数簇X，必存在一个完备簇，使得是开浸入。代数簇的概念最早是在20世纪20年代由范·德·瓦尔登(Van der Waerden，B.L.)和诺特(Noether，E.)等提出的，以后又经过韦伊(Weil，A.)、塞尔(Serre，J.P.)等人的发展，直至格罗腾迪克(Grothendieck，A.)把它纳入概形体系，才得到上述的现代定义。

定义中不可约代数集合(加上它的诱导拓扑)叫做射影代数簇(或简称射影簇)。射影簇的开子集叫做拟射影簇，射影簇或拟射影簇的维数指的是它作为拓扑空间的维数。

命题映射是(对于诱导拓扑)到(对于zarlski拓扑)的同胚映射。

推论设Y是(拟)射影簇，则Y具有开覆盖，其中每个由上述映射均同胚于(拟)仿射簇。

代数簇相关介绍

设P是复数域C上的一个n维射影空间。我们可以给P确定一组齐次坐标，关于的一个多项式称为d次齐次多项式，如果F的每一项的总次数都是d。在这种情况下，使F为零的那些就构成P中的一个几何流形，P中对应于这样的的一个点也叫做F的一个零点。

一般地，我们可以考虑P中由一组(有限或无限多个，不一定同次)齐次多项式的公共零点所定义的流形。这样的一个流形叫做P中的(射影)代数集，因为两个代数集的并也是一个代数集，在很多情形下人们只需要考虑不可约的代数集，也就是不能表示成两个真子代数集之并的代数集，这样的代数集就叫做P中的射影代数簇，它是代数几何研究的基本对象。

设V是一个代数簇。代数几何感兴趣的不仅是V作为拓扑流形的几何特性，而且更多的是V上的代数结构，这个代数结构是由V上的所有有理函数(或称代数函数)所确定的。每个有理函数都可以表示成两个相同次数的齐次多项式的商，并且我们要求分母不在V上恒等于零，于是在V的一个处处稠密的开子集上有定义。这是一种代数几何特有的开子集，即所谓扎里斯基开子集。

V上的所有有理函数自然地构成一个域，称为V的有理函数域。我们可以定义V的维数为在复数域C上的超越次数，事实上这样定义的维数就等于V作为复数域上解析流形时的复维数。1维的代数簇又称为代数曲线，2维的称为代数曲面，3维的称为曲体。

另一方面，代数几何关心的首先是代数簇V上的代数结构而不是V在空间P中的嵌入。在这个意义下，如果我们有两个代数簇V和W之间一个一一映射，它把W上的有理函数对应成V上的有理函数且反之亦然，则被看成是V和W之间的一个同构映射并且V和W因为同构而被认为是代表了同一个代数簇。例如，射影直线和中由方程

所定义的二次曲线就是同构的。于是代数几何学家们往往不把同构于的代数曲线称为“直线”而是冠之以一个新的名称：有理曲线，因为它不总是“直”的。

更一般地，我们有两个代数簇V，W之间的态射概念：一个映射称为态射(morphism)，如果它诱导W和V的代数结构之间的一个同态，也就是说对于W上的每个有理函数，复合映射是V上的有理函数。态射是代数几何中最基本的映射概念，但很多时候它的条件显得太强，所以我们有更一般的有理映射概念：对于有理映射，我们只要求是V的一个扎里斯基开子集到W的映射，但当然仍要求是V上的有理函数。特别地，如果有理映射有一个有理逆映射，我们称V和W是双有理等价的。这时虽然V和W不一定同构，但它们的区别其实很小，比如说有理函数域和就是同构的。

双有理等价概念对于代数簇的分类问题有着关键的意义：一般来说，任一代数簇都有无限多个与其双有理等价但不同构的代数簇，但因为双有理等价的代数簇在整体上有相当重要的共同性质而它们的不同只是局部的，可以很自然地把这样的代数簇看成是同一类的，所以通常所说的代数簇的分类实际上是对代数簇的双有理等价类的分类。此外，根据著名的广中平佑奇点解消定理，任意代数簇都双有理等价于一个光滑代数簇(或称非奇异代数簇)，即没有奇点的代数簇。这样至少在理论上，对代数簇的双有理等价类的分类及其整体性质的研究就可以化为对光滑代数簇的双有理等价类的这样的研究，从而避免了局部的奇异点的存在对整体性质研究可能带来的干扰。在曲线和曲面的情形，这样的考虑确实是很有效的，虽然我们下面可以看到，从三维情形开始，仅考虑光滑簇是不够的，必须同时允许一些特殊的奇异点的存在才能克服由于没有合理的极小模型而带来的困难。

如果说代数簇V上有理函数定义了V的基本代数结构的话，对研究V的整体性质并对其进行分类的最重要的工具是V上的层(sheaf)。其中人们研究得最多的是局部自由层，就是由V上的某个解析向量丛的所有局部截面(local section)所构成的层，这里V上的一个解析向量丛是一个解析空间M(可以理解为带奇点的解析流形)，以及从M到V的一个解析映射，使得对于V的每个点P，是一个具有固定维数r的复向量空间。数r就叫做M的(或者对应的局部自由层的)秩。事实上，取局部截面的过程构成了V上的所有解析向量丛和所有局部自由层所成的集合之间的一个一一对应，所以有时人们往往不加区别地混用向量丛和局部自由层的概念。当V为光滑代数簇时，向量丛的一个明显的例子是V上的切空间构成的秩为的切丛，对应于V的切层。这时V上的所有一阶微分形式也自然构成一个秩为的局部自由层。

当局部自由层L的秩为1时，L称为可逆层，相应的向量丛称为线丛。V上所有可逆层的全体以张量积为运算自然地形成一个群，这就是V的皮卡群，其单位元对应的是V上所有有理函数构成的可逆层，称为平凡层。

可逆层是最常见也是最有用的层，因为它们与代数簇到射影空间中的映射有着密切的关系：

设L为代数簇V上的一个可逆层．L中的所有整体截面(在V上处处有定义的截面)构成复数域上的一个有限维的向量空间，记为或，它的维数记为，当非空时，这些整体截面自然地定义了V到射影空间中的一个有理映射，这里。特别当为嵌入映射时，L称为非常丰富层(very ample)。反之，若是一个嵌入态射，则中的一次齐次形式自然地诱导V上的一个非常丰富层L，使得，所以V上的非常丰富层一一对应于V在射影空间中的表示。

假设V是一个维数为d的光滑代数簇，则V上所有的局部d阶外微分形式构成一个可逆层，叫做V的典范层，它所诱导的有理映射称为典范映射。我们有。一般地，对于任一正整数n，我们有n-典范层及其对应的n-典范映射。记为，或。而当n=1时，又可记为，称为V的几何亏格。所有这些n-典范层以及n-典范映射在V的同构意义下都是唯一确定的，因此是V上重要的几何对象。不仅如此，所有的都是双有理不变量，它们对于双有理等价的代数簇是不变的。于是下面的典范模型也是双有理不变的：

设，这里求和是对所有大于或等于1的n作的。我们假设R不是空集，则R是C上的一个无限维向量空间，而且n-典范层之间的张量积关系在R上诱导了一个分次环结构，称为V的典范环。在低维的情形，人们已证明R是有限生成的，这时R可以自然地定义一个射影代数簇，这就是V的典范模型，它的维数不超过。

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