平面解析几何

数学领域术语

平面解析几何，又称解析几何（英语：Analytic geometry）、坐标几何（英语：Coordinate geometry）或卡氏几何（英语：Cartesian geometry），早先被叫作笛卡尔几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。

简介

在中学课本中，解析几何被简单地解释为：采用数值的方法来定义几何形状，并从中提取数值的信息。然而，这种数值的输出可能是一个方程或者是一种几何形状。

1637年，笛卡尔在《方法论》的附录“几何”中提出了解析几何的基本方法。以哲学观点写成的这部法语著作为后来牛顿和莱布尼茨各自提出微积分学提供了基础。

对代数几何学者来说，解析几何也指（实或者复）流形，或者更广义地通过一些复变数（或实变数）的解析函数为零而定义的解析空间理论。这一理论非常接近代数几何，特别是通过让-皮埃尔·塞尔在《代数几何和解析几何》领域的工作。这是一个比代数几何更大的领域，不过也可以使用类似的方法。

发展历史

古希腊数学家梅内克缪斯的解题、证明方式与使用坐标系十分相似，以至于有时会认为他是解析几何的鼻祖。阿波罗尼奥斯在《论切触》中解题方式被称为单维解析几何；他使用直线来求得一点与其它点之间的比例。阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中进一步发展了这种方式，这种方式与解析几何十分相似，比起笛卡尔早了1800多年。他使用了参照线、直径、切线与现进所使用坐标系没有本质区别，即从切点沿直径所量的距离为横坐标，而与切线平行、并与数轴和曲线向交的线段为纵坐标。他进一步发展了横坐标与纵坐标之间的关系，即两者等同于夸张的曲线。然而，阿波罗尼奥斯的工作接近于解析几何，但它没能完成它，因为他没有将负数纳入系统当中。在此，方程是由曲线来确定的，而曲线不是由方程得出的。坐标、变量、方程不过是一些给定几何题的脚注罢了。

十一世纪波斯帝国数学家欧玛尔·海亚姆发现了几何与代数之间的密切联系，在求三次方程使用了代数和几何，取得了巨大进步。但最关键的一步由笛卡尔完成。

从传统意义上讲，解析几何是由勒内·笛卡尔创立的。笛卡尔的创举被记录在《几何学》当中，在1637年与他的《方法论》一道发表。这些努力是以法语写成的，其中的哲学思想为创立无穷小提供了基础。最初，这些著作并没有得到认可，部分原因是由于其中论述的间断，方程的复杂所致。直到1649年，著作被翻译为拉丁语，并被冯·斯霍滕恭维后，才被大众所认可接受。

费马也为解析几何的发展做出了贡献。他的《平面与立体轨迹引论》虽然没有在生前发表，但手稿于1637年在巴黎出现，正好早于笛卡尔《方法论》一点。《引论》文字清晰，获得好评，为解析几何提供了铺垫。费马与笛卡尔方法的不同在于出发点。费马从代数公式开始，然后描述它的几何曲线，而笛卡尔从几何曲线开始，以方程的完结告终。结果，笛卡尔的方法可以处理更复杂的方程，并发展到使用高次多项式来解决问题。

基本理论

坐标

在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。最常见的是笛卡尔坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。这些常写为有序对(x,y)。这种系统也可以被用在三维几何当中，空间中的每个点都以多元组呈现(x,y,z)。

坐标系也以其它形式出现。在平面中最常见的另类坐标系是极坐标系，其中每个点都以从原点出发的半径r和角度θ表示。在三维空间中，最常见的另类坐标系统是圆柱坐标系和球坐标系。

曲线方程

在解析几何当中，任何方程都包含确定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上对应的是所有x-坐标等于y-坐标的解集。这些点汇集成为一条直线，y=x被称为这道方程的直线。总而言之，线性方程中x和y定义线，一元二次方程定义圆锥曲线，更复杂的方程则阐述更复杂的形象。

通常，一个简单的方程对应平面上的一条曲线。但这不一定如此：方程x=x对应整个平面，方程x2+y2=0只对应(0,0)一点。在三维空间中，一个方程通常对应一个曲面，而曲线常常代表两个曲面的交集，或一条参数方程。方程x2+y2=r2代表了是半径为r且圆心在(0,0)上的所有圆。

距离和角度

在解析几何当中，距离、角度等几何概念是用公式来表达的。这些定义与背后的欧几里得几何所蕴含的主旨相符。例如，使用平面笛卡尔坐标系时，两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离d(又写作|AB|被定义为

上述可被认为是一种勾股定理的形式。类似地，直线与水平线所成的角可以定义为

其中m是线的斜率。

变化

变化可以使母方程变为新方程，但保持原有的特性。例如，母方程有水平和垂直的渐近线，处在第一和第三象限当中能够，它所有的变形都有水平和垂直的渐近线，出现在第一或第三、第二或第四象限当中。总的来说，如果，那么它可以变为。新的变形方程，因素如果大于1，就垂直拉伸方程；如果小于1，就压缩方程。如果值为负，那么方程就反映在 -轴上。值如果大于1就水平压缩方程，小于1就拉伸方程。与一样，如果为负就反映在 -轴上。和值为平移，值是垂直，为水平。和的正值意味着方程往数轴的正方向移动，负值意味这往数轴的负方向移动。

变化可以应用到任意几何等式中，不论等式是否代表某一方程。变化可以被认为是个体处理、或是组合处理。

例如，在平面上

指代单位圆。图像可以被变化为：

将变为，使得图像向右移动个单位。

将变为，使得图像向上移动个单位。

将变为，使得图像以值拉伸。 (想象一下被膨胀了)

将变为，使得图像垂直拉伸。

将变为，将变为，使得图像旋转个角度。

交集

虽然本讨论仅限于xy-平面上，但它可以很容易地衍生为更高维的空间中。两个几何对象P和Q指代和，其交集是所有点的集合。例如，可以是半径为1的圆，圆心在 , 可以是半径为1的圆，圆心在。两圆的交叉点是满足方程的所有点的集合。点是否满足方程呢？将带入，便成为或，结论为真，因此在上。换句话来说，接着将带入，方程成为或，结论为假。不在上，因此不是它的集合。

与的交集可以通过同时解方程来求得：

解得

我们的交集有两点：

就圆锥曲线而言，交集可能会出现至多4个点。

主题问题

解析几何中的重要问题：

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