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库拉托夫斯基定理

数学定理

库拉托夫斯基定理，即一个图是平面图的充分必要条件是这一图不包含任何同胚于K5或K3,3的子图。

定理背景
最常见的就是布线问题。一个复杂的网络能否布在平面上而又不自相交叉？做印制电路时自然会碰到这个问题。有的图把一条对角线移到方形外面就可以布在平面上。但有的图却无论怎样移动都不能布在平面上。1930年K·库拉托夫斯基证明，一个网络是否能嵌入平面，就看其中是否不含有k5或k3,3两个图之一。
判定方法
判断一个图是否为平面图是一件困难的事。通常我们可以采用直观的方法，即：在图中找出一个长度尽可能大的且边不相交的圈；然后将图中那些相交于非结点的边，适当放置在已选定的圈内侧或外侧，若能避免除结点之外边的相交，则该图为平面图，否则便是非平面图。
例如，K5不是平面图，因为无论如何画都不能使其所有边不相交。
图的同胚
如果两个图中的一个图是由另一个图的边上插入一些新的顶点得到的，则称这两图同胚。
定理内容
波兰数学家库拉托夫斯基（Kuratowski）在1930年给出了判定一个图是平面图的这个充要条件。这个定理证明太复杂，一般教材仅介绍不证明。一个图是平面图的必要充分条件是, 它不包含任何同胚于K5或K3,3的子图。
Kuratowski定理的实际应用较困难。
作者简介
库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski，1896年2月2日－1980年6月18日），波兰数学家。他主要研究点集拓扑学和集合论。
库拉托夫斯基的父亲是华沙的著名律师。当时华沙受俄罗斯统治，进入当地大学必须经过俄语的考试。库氏没有就读俄语中学，决定到苏格兰学习工程。1913年10月，他进入了格拉斯哥大学，那年他得了班内的数学奖。1914年，他回到波兰度假，不料第一次世界大战暴发，他便没有回格拉斯哥。1915年11月，俄军撤出华沙，华沙大学改用波兰语，库氏选择修读数学。
在大学内有几个教授对库氏影响很深：博士论文导师Janiszewski和Mazurkiewicz、瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基、Lukasiewicz。前三位都研究当时很新鲜的领域拓扑学。最后者研究数理逻辑，他的研讨会启发了库氏的第一篇论文（1917年）。1927年被聘为利沃夫工业大学（Politechnika Lwowska）教授，1934年起任教于华沙大学。
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