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度量

数学概念

度量（metric），亦称距离函数，数学概念，是度量空间中满足特定条件的特殊函数，一般用d表示。度量空间也叫做距离空间，是一类特殊的拓扑空间。弗雷歇（Fréchet，M.R.）将欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。

提出
现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期，法国数学家M.R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度量空间的概念。
度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的线段的长度。
定义
设为一个非空集合，其元叫做点。是全体实数的集。
若函数对于任意x,y,z∈X满足条件：
（a），等号当且仅当x=y时成立；（称作正定性）
（b）；（称作对称性）
（c）；（称作三角形不等式）
则称函数为集合上的一个距离函数或度量。赋予度量d的集合X称为度量空间，记为(X,d)。
例子
n维欧几里得空间Rn按通常的度量构成度量空间。区间[0,1]上定义的连续实值函数的集合上赋予由
确定的度量也是度量空间。在任意非空集合X上定义d(x,x)=0，当x≠y时，d(x,y)=1，则(X,d)也是度量空间。
当d满足条件a的后半部分及b、c时，d称为伪度量，赋予伪度量的集合X称为伪度量空间。当d满足条件a、c时，d称为拟度量，赋予拟度量的集合X称为拟度量空间。
性质
d(x,y)为x与y之间的距离。在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是豪斯多夫空间，完全正规空间，仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是豪斯多夫空间。
直径（有界度量）
直径（diameter）是度量空间的基本概念之一。设M为度量空间(X,d)的子集，定义
则称为集合M的直径。直径为有限的集合称为有界集。当整个空间X的直径为有限（即）时，称X上的度量d为有界度量。
拓展概念（完备度量空间）
完备度量空间是一类重要的度量空间。设(X,d)是度量空间，{xn}为X中的序列。若对于任意ε>0，存在n∈N，当 i,j≥n 时有
则称{xn}为柯西序列或基本序列。度量空间中每一收敛序列必为柯西序列；反之柯西序列未必收敛。若X中的任意柯西序列都收敛，则称X为完备度量空间。欧几里得空间和希尔伯特空间都是完备度量空间。
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