度量几何

数学术语

度量几何即欧几里得几何，是确定或表述几何量中长度、面积和体积的一种方法。最早人们依靠直观进行推演计算。欧几里得《几何原本》中应用的“阿基米德公理”成为近代几何度量理论的基本公理之一。

概念

欧几里得几何简称“欧氏几何”。公元前约三百年，由古希腊数学家欧几里得所创立。他总结了古代劳动人民在实践中获得几何和数的知识，加以系统化，采用演绎方法写成了13卷的巨著《几何原本》。该书把人们在实践中证明了的事实，概括出23个定义、5条公设、5条公理。例如“在平面上过直线外一点，只能作一条直线与它平行” (“第五公设”) ; “三角形内角和等180°”;“存在相似多边形”等等。从这些定义、公理和公设出发，通过演绎方法研究各种空间形式及其与数量间的关系，建立了公理化的几何体系，就形成了欧氏几何。按照所讨论的图形在平面上或在空间中分别称为《平面几何》与《立体几何》。

详细介绍

欧几里得几何是几何学的一门分科。数学上，欧几里得几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。

欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。

其中公理五又称之为平行公设（Parallel Postulate），叙述比较复杂，并不像其他公理那么显然。这个公设衍生出“三角形内角和等于一百八十度”的定理。在高斯（F. Gauss）的时代，公设五就备受质疑，俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolay Ivanovitch Lobachevski）、匈牙利人波尔约（Bolyai）阐明第五公设只是公理系统的一种可能选择，并非必然的几何真理，也就是“三角形内角和不一定等于一百八十度”，从而发现非欧几里得的几何学，即“非欧几何”（non-Euclidean geometry）。

另一方面，欧几里得几何的五条公理并未具有完备性。例如，该几何中有定理：在任意直线段上可作一等边三角形。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。

公理

欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。

欧式几何的五条公理是：

1、任意两个点可以通过一条直线连接。

2、任意线段能无限延长成一条直线。

3、给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。

4、所有直角都全等。

5、若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。

第五条公理称为平行公理（平行公设），可以导出下述命题：

通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。

平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里得几何，说明平行公理是不可证的（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何）。

另外五条公理是：

1、等于同量的量彼此相等。

2、等量加等量，其和仍相等。

3、等量减等量，其差仍相等。

4、彼此能够重合的物体是全等的。

5、整体大于部分。

意义

在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如“两点确定一条直线”即是一例。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。

欧几里得

古希腊著名数学家。雅典人。历史上被称为“几何学之父”，所著《几何原本》13卷，是世界上第一部公理化的数学著作，对后世数学的发展有巨大的影响。还著有：《数据》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学之书》、《反射光学之书》等。欧几里得是一位品德高尚的数学家，一生献身于科学，对做官、赚钱毫无兴趣。他对学生循循善诱，反对学习上投机取巧、舍不得下苦功的作风。据传，亚历山大国王多禄米想赶时髦学点几何学，可是刚学一点就不耐烦了，便问欧几里得：“学习几何学，有没有便当一点的途径，一学就会?”欧几里得答道：“陛下，乡下有两种道路，一条是供老百姓走的难走的小路，一条是供皇家走的坦途。但是在几何学里，大家只能走同一条路。走向学问，是没有什么皇家大道的。”有个学生在学了第一定理后问他：“学习几何究竟有什么实际好处?”欧几里得思索后对佣人说：“拿一点儿钱来给这位先生，他没有钱是不肯学习的。”他对社会上耀武扬威、勾心斗角的现象不屑一顾，认为“这些浮光掠影的东西终究会过去，但是，星罗棋布的天体图案，却是永恒地岿然不动。”

全国各地天气预报查询

上海市

云南省

云南省

云南省

云南省

云南省