康托尔集

在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

引入

通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。

实际上斯梅尔的马蹄映射也会形成康托尔集。

康托三分集

取一条长度为1的直线段，将它三等分，去掉中间一段，留剩下两段，再将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，剩下更短的四段，……，将这样的操作一直继续下去，直至无穷，由于在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，长度越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，称为康托尔点集，记为P。称为康托尔点集的极限图形长度趋于0，线段数目趋于无穷，实际上相当于一个点集。操作n次后

边长r=(1/3)^n，

边数N(r)=2^n，

根据公式D=lnN(r)/ln(1/r) , D=ln2/ln3=0.631。

所以康托尔点集分数维是0.631。

性质特点

康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。

康托三分集具有

（1）自相似性；

（2）精细结构；

（3）无穷操作或迭代过程；

（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。

（5）长度为零；

（6）简单与复杂的统一。

康托尔集P具有三条性质：

1、P是完备集。

2、P没有内点。

3、P的基数为c。

4、P是不可数集。

康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。

三进制理解

在长度为1的直线段中，将所有点按三进制编码。

即第一次去掉的点，为三进制编码小数中，第一位小数为1的所有点；同理，第N次操作，就是去掉三进制小数中，第N位为1的点。

最后得到的康托尔集，用三进制表示，就是小数位只有0，2的所有小数。

说明：0.1(3)是康托尔集中的点，但不符合上述描述。在上述描述中，是以0.02（2的循环）表示的。

如果要消除这种循环表示方法，可以定义为：康托尔集，用三进制表示，就是小数位的有效数字最后一位可以为1，2；其他位数只有0，2的所有小数。

构造

康托尔集是由不断标记线段的中间三分之一而得出。首先，从区间(0,1)中标记中间的三分之一[1/3,2/3]，并选取端点1/3、2/3，留下两条线段：(0,1/3) ∪ (2/3,1)。然后，把这两条线段的中间三分之一都标记，并选取端点1/9、2/9、7/9、8/9，留下四条线段：(0,1/9) ∪ (2/9,1/3) ∪ (2/3,7/9) ∪ (8/9,1)。把这个过程一直进行下去，其中第n个集合为：

康托尔集就是由所有过程中被选取的点组成。

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