弹性常数

材料物理学术语

在最广泛的意义上，弹性常数（又称弹性系数）是描述材料弹性行为的各种物理量的统称。常见的弹性常数有杨氏模量（又称弹性模量）、切变弹性模量和体积弹性模量等，分别反映了材料在受到正应力、切应力、流体静压力下的力学行为。

弹性变形及微观理解

材料受外力作用发生尺寸和形状的变化，称为变形。外力去除后，随之恢复的变形为弹性变形，剩余的永久性的变形则为塑性变形。可逆性是弹性变形的重要特征，即卸除载荷后因受力产生的变形可以恢复。这样的特征反映了弹性变形决定于原子间结合力这一本质属性。

从微观上看，弹性变形是原子系统在外力作用下离开其平衡位置达到新的平衡状态的过程。当一种或者多种元素形成固体材料时，原子都围绕其平衡位置振动，即粗略地可认为每个原子都处于在该宏观状态（如特定温度、压强）下的平衡位置。如果把每个原子看作由带正电的原子核和带负电的核外电子组成，则原子间存在库仑吸引力和排斥力，其中吸引力来自某个原子核与其他原子的核外电子，而排斥力则来自于不同原子的原子核或者电子。原子间作用的双原子模型告诉我们，当两个相邻原子间距大于平衡间距，原子间表现出引力，而原子间距小于平衡间距时，则表现出斥力。平衡状态下任何原子受到的来自周围原子的库仑吸引力和排斥力是相等的，且任何相邻原子对的平均间距是不变的。

当材料沿某个方向受到拉伸力作用时，这个方向的原子间距会变大，直到原子间的引力可以与拉伸力抗衡，即建立新的平衡；同理，当受到挤压力的作用时，原子间距会缩小，直到原子间斥力可以与外力抗衡。当外力撤去，原子间存在的引力或者斥力会使得所有原子重新回到原有的平衡位置，宏观上表现为材料的尺寸和形状恢复，弹性变形消失，从而表现了弹性变形的可逆性。这也说明弹性性能与特征是原子间结合力的宏观体现，本质上取决于晶体的电子结构，而不依赖于显微组织。

应力—应变曲线

对于材料力学性能测试，最为常见的便是静载拉伸实验。该实验一般是对于光滑圆柱或板状试样在室温和轴向缓慢施加载荷的条件下进行的。接下来谈及的应力和应变的定义主要针对该实验而言，其他情况合理类比即可。

试样受到的载荷（与力具有相同的量纲）除以试样的原始截面积，会得到工程应力，而以原始长度去除伸长量会得到工程应变，为末态长度，即：

一般所说的应力—应变曲线默认是针对工程应力和工程应变而言。这样的计算默认了试样的截面积和长度不变，然而真实拉伸过程往往伴随着试样长度的增加和截面积的减小，因此工程应力（应变）也称为条件应力（应变）或名义应力（应变）。在真实情况下，还可以定义更加科学的真实应力与真实应变：

其中是瞬时截面积，是瞬时试样长度。

针对工程应力与工程应变的特征不同，粗略地可划分为两类材料（这里抛开情况复杂的高聚物材料不谈），即脆性材料和塑性材料。其中脆性材料在拉伸断裂前只发生弹性变形，不发生塑性变形，在最高载荷点处断裂，常见的有玻璃、陶瓷等。其应力应变曲线如下图所示。其中应力——应变曲线与横轴夹角的大小表示材料对弹性变形的抗力，用弹性模量表示，有。

在弹性形变阶段，应力与应变成正比，即：

称为胡克（Hooke）定律。

而塑性材料（如常见金属）会在弹性变形阶段后进入弹—塑性阶段，在后一阶段开始发生不可逆的塑性变形，转折点a称为材料的屈服点。此时我们一般在如图的Oa段内考察材料的弹性变形行为。

广义胡克定律

真实材料可能受到的载荷远非只有单轴静态拉伸一种，而是任意角度且混有剪切作用的复杂形式。此时，对于材料的任何一点，都应该考虑9个应力分量——三个方向的正应力，以及垂直于三个正应力方向的六个剪切应力。其中应理解为垂直于x轴方向的平面内沿着y方向的剪切应力分量。同理，可以定义正应变，和剪切应变。根据切应力互等原理，有，和，于是独立的应力分量数可由9个减为6个。

于是对于理想弹性体，应力和应变关系的一般式可写为：

把上述等式按照泰勒级数展开并仅保留至一阶项，我们可以得到应力分量与应变分量之间的线性关系：

上式即为广义胡克定律。式中被称为刚度常数。如果反过来，将任一应变分量表示为应力分量的线性组合，即

则系数称为柔度常数。刚度常数和柔度常数皆称为弹性常数，有时也称为弹性系数。

可以证明，即使各向异性程度最大的晶体，如三斜晶系，也存在着的对称关系，因此36个弹性常数（仅指柔度常数，下同）仅有21个是独立的。随着晶体对称性的提高，独立的弹性常数更少，如对于各向同性体只有2个独立的弹性常数，此时柔度常数矩阵为

各晶系独立弹性常数个数如下表：

常用弹性常数

工程中应用的材料多数都是取向杂乱的多晶而非单晶，可以看作各向同性体，因此只有两个独立的弹性常数。针对各向同性体，可以定义一些特殊的弹性常数作为反映材料特定材料力学属性的物理量。

杨氏模量

在材料力学领域，杨氏模量和弹性模量是等同的概念，而弹性常数则是不同于弹性模量的更为广义的概念。然而在一些特定语境中，会将弹性模量视作与弹性常数等同，或视为杨氏模量和切变模量的统称，应具体甄别。杨氏模量/弹性模量在单向受力时的定义式为

表征材料抵抗正应变的能力。

切变弹性模量

有时也称为切变模量。在纯剪切应力状态下的定义式为

表征材料抵抗剪切变形的能力。

泊松比

泊松比并非刚度常数或柔度常数，它定义为材料单向受力状态下横向正应变与受力方向上正应变之比。比如对于受力沿x轴时：

如果材料在受力过程中体积严格不变，可证明，属于不可压缩材料。大多数材料的值在0.2至0.5。

结合杨氏模量与切变弹性模量我们可以得到，对于各向同性体的广义胡克定律的表达式：

对于单向拉伸时可以简化为：

体积弹性模量

也称为体积模量。它表示物体在三向压缩（流体静压力）下，压强与体积变化率之间的线型比例关系。此时

这里的应力一般是对压伸而言，因此对于压缩情况会有负号。而在作用下体积相对变化为

所以体积弹性模量为：

各向同性体只有两个独立的参数，因此上述四个弹性常数满足两个约束关系：

工程学意义

从各种弹性常数的定义中可以看出，弹性常数在广泛意义上可以理解为描述材料弹性行为的各种物理量的统称，并不仅仅包含刚度常数和柔度常数。然而在工程上，还需要考察材料的其他弹性性能以保证其符合使用要求。这样的弹性性能包括刚度和弹性比功。

刚度

机器的零件在服役时基本都是处于弹性变形状态的，这要求零件的弹性变形应处在合理的范围内，而避免因过度变形失效。在弹性变形范围内，构件抵抗变形的能力称为刚度，定义为：

可见，刚度是指单位应变对应的载荷数，与弹性模量和截面积成正比。多数情况下，可以通过增大截面积的方式增加刚度，但是在航空航天等领域由于对构件的质量有严格的限制，仅仅增大截面积是无法满足工程需求的。于是提出了比弹性模量的概念，定义为弹性模量与材料密度的比值。如表格数据所示，铍是金属中比弹性模量最高的材料，因此在导航设备中得到广泛应用。

除了考虑比弹性模量，也可以从原子类型的角度出发来提高弹性模量。一般来说，以共价键或离子键结合的陶瓷材料的弹性模量高于金属材料，而以范德华力结合的材料的弹性模量最低。

此外，组分和缺陷也会影响材料的弹性模量。如利用高弹性模量的碳化硅（SiC）晶须与金属钛（Ti）或铝（Al）复合可制成晶须增强金属基复合材料，它不仅具有较高的弹性模量，而且具有较低的质量密度。而如果材料中含有气孔等缺陷，则会由于影响原子间的键合、造成应力集中等原因降低材料的实际弹性模量。

弹性比功

对于弹簧等零件，我们不仅要求其具有缓冲和减震的作用，还要有足够的吸收和释放弹性功的能力，以避免弹力不足而失效。为此，我们引入弹性比功的概念，它是指材料吸收变形功而不发生永久变形的能力，是一个韧度指标，定义为：，其中是材料的弹性极限，指试样加载后再卸载，以不出现残留的永久变形为标准，材料能完全弹性恢复的最高应力值。而对应的应变以表示。

从图示不难看出，定义式所计算的阴影部分面积正是单位体积材料所吸收的最大弹性变形功。为了提高弹性比功，可以提高或降低，而为了提高所能吸收的变形功，也可以增大零件的体积。

值得强调的是，弹性极限和弹性模量反映了材料不同侧面的性质。前者是材料的强度指标，它对材料的成分、组织以及其他结构因素敏感。而后者是刚度指标，只取决于原子间的结合力，对于结构不敏感。

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