强仿紧空间

拓扑空间

强仿紧空间(strongly paracompact space)亦称星有限空间或S空间。是一类拓扑空间。设X是拓扑空间，若X的任意开覆盖都存在星有限开覆盖加细，则称X为强仿紧空间。强仿紧空间是仿紧空间。正则的林德勒夫空间是强仿紧空间。强仿紧空间是岛克(Dowker，C.H.)于1947年定义的。

拓扑性质

设X是一个非空集合，X的幂集的子集（即是X的某些子集组成的集族）T称为X的一个拓扑。当且仅当：

1．X和空集{}都属于T；

2．T中任意多个成员的并集仍在T中；

3．T中有限多个成员的交集仍在T中。

称集合X连同它的拓扑τ为一个拓扑空间，记作（X,T）。

称T中的成员为这个拓扑空间的开集。

定义中的三个条件称为拓扑公理。（条件（3）可以等价的换为τ中两个成员的交集仍在τ中。）

从定义上看，给出某集合的一个拓扑就是规定它的哪些子集是开集。这些规定不是任意的，必须满足三条拓扑公理。

一般说来，一个集合上可以规定许多不相同的拓扑，因此说到一个拓扑空间时，要同时指明集合及所规定的拓扑。在不引起误解的情况下，也常用集合来代指一个拓扑空间，如拓扑空间X，拓扑空间Y等。

同时，在拓扑范畴中，我们讨论连续映射。定义为：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定义的拓扑）是连续的当且仅当开集的原像是开集。两个拓扑空间同胚当且仅当存在一一对应的互逆的连续映射。同时，映射同伦和空间同伦等价也是很有用的定义。

拓扑空间

在拓扑学及其相关的数学分支中，拓扑空间（topological space）是一个点的集合，其部分子集构成一个族满足一些公理。拓扑空间的定义仅依赖于集合论，是带有连续，连通，收敛等概念的最基本的数学空间。

设X是一个集合，O是一些X的子集构成的族，则(X,0)被称为一个拓扑空间，如果下面的性质成立：

1. 空集和X属于O，

2.O中任意多个元素的并仍属于O，

3.O中有限个元素的交仍属于O。

这时，X中的元素成为点（point），O中的元素成为开集（open set）。我们也称O是X上的一个拓扑。

仿紧空间

仿紧空间是一类重要的拓扑空间。为了讨论拓扑空间的可度量化问题，迪厄多内(Dieudonné，J.)于1944年引入仿紧空间的概念。设X为拓扑空间。若X的任意开覆盖都有局部有限的开覆盖加细，则称X为仿紧空间。紧空间是仿紧空间。度量空间也是仿紧空间。反之未必成立。仿紧空间是紧空间的一种最重要的推广。对于这一类空间的研究，不仅从内容上推广了紧空间理论，而且较大地发展了覆盖方法，有力地推动了一般拓扑学的发展，特别是广义度量空间理论和度量化问题的广泛进展。另外，仿紧空间在微分流形、代数拓扑和泛函分析中也有重要的应用。仿紧性具有闭遗传性。仿紧T2空间的闭连续像是仿紧T2的。仿紧T2空间是全体正规空间。全体正规空间是仿紧空间。仿紧T2空间中的Fσ集是仿紧的。在完全映射下，仿紧空间的原像是仿紧的。仿紧空间是亚紧的、可数仿紧的、族正规的。可数紧的仿紧空间是紧空间。林德勒夫空间是仿紧的。斯通(Stone，A.H.)于1948年、迈克尔(Michael，E.)于1953年给出了仿紧性的几个等价条件。森田纪一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)于1960—1962年也分别给出了几个等价条件。

强仿紧空间

强仿紧空间(strongly paracompact space)亦称星有限空间或S空间。是一类拓扑空间。设X是拓扑空间，若X的任意开覆盖都存在星有限开覆盖加细，则称X为强仿紧空间。强仿紧空间是仿紧空间。正则的林德勒夫空间是强仿紧空间。强仿紧空间是岛克(Dowker，C.H.)于1947年定义的。斯米尔诺夫(Смирнов，Ю.М.)于1956年给出了强仿紧空间的等价条件。卡普兰(Kaplan，S.)和亚历山德罗夫(Александров，П.С.)于1947年证明了可分度量空间是强仿紧的。

局部紧空间

定义1 空间X称为i-型局部紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:

1)X中每一点都有一个紧邻域;

2)X中每一点都有一个紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是紧的.

定义2　空间X称为i-型局部强仿紧空间(i=1,2,3),是指它满足下面的条件:

1)X中每一点都有一个强仿紧邻域;

2)X中每一点都有一个强仿紧邻域基;

3)X中每一点x的任意一个邻域U包含一个开邻域V,使得V U,且V是强仿紧的.

定义3　在空间X中,Y是X的子集.若Y作为X的子空间是强仿紧空间,则称Y是X的强仿紧子集.显然强仿紧空间必是1-型局部强仿紧空间,因为强仿紧空间本身是它的任何一点的强仿紧邻域.由定义2可知,三者之间的关系: 3-型局部强仿紧空间 2-型局部强仿紧空间 1-型局部强仿紧空间。

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