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强对偶性

数学术语

若原始问题(对偶问题)有一个确定的最优解，那么对偶问题(原始问题)也有一个确定的最优解，而且这两个最优解所对应的目标函数值相等，这就是强对偶性。

强对偶性定理
巳知原线性规划 及其对偶线性规划 ，下面给出 之间关系的强对偶性定理，总假设 的标准型分别为 。
若有最优解，则亦有最优解，而且的最优解对应的目标函数值相等，即
定理证明
证明： 把 分别用矩阵表示。
设是用单纯形法求出的的最优解，它对应的基为，而且必有全体检验数。
下面把(1)化为标准形，并求全体检验数的表示式。
其中为松弛变量构成的向量，不失一般性设，相应地，从而
由此可见
中各变量的检验数均为0，
中各变量的检验数均由表示；
中各变量的检验数均由表示，对应于最优基B，全体检验数均小于等于0，所以有
设，由(6)知必有，因为
所以
由(5)知
把代入得
从而有
由此可见是的可行解，又因为
即
所以是的最优解，而且的最优目标函数值等于的最优目标函数值。证毕。
本定理的逆命题也成立，证法类同。
线性规划的对偶理论
线性规划的对偶理论指研究线性规划问题和它对应的对偶问题之间存在的变量、系数及数学符号的严格对应关系的理论。线性规划的对偶理论，不仅存在于原始问题与对偶问题的数学模型中，而且存在于整个求解过程中。线性规划的对偶理论主要有：
(1)对称性。即对偶问题的对偶是原始问题。
(2)弱对偶性。若是原始问题的可行解，是对偶问题的可行解，则有。
(3)最优性。若是原始问题的一个可行解，是对偶问题的一个可行解，且，那么是原始问题的一个最优解。
(4)无界性。若原始问题(对偶问题)的解无界，那么对偶问题(原始问题)无可行解。
(5)强对偶性。若原始问题(对偶问题)有一个确定的最优解，那么对偶问题(原始问题)也有一个确定的最优解，而且这两个最优解所对应的目标函数值相等，即。
(6)原始问题(对偶问题)的检验数对应于对偶问题(原始问题)的一个解。线性规划问题的对偶理论，不仅为建立对偶问题的数学模型提供了依据，而且为进一步扩大单纯形法求解线性规划问题的范围，形成对偶单纯形法和进行灵敏度分析奠定了理论基础。
互为对偶的两个线性规划，它们的解之间的关系如表1所示。
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