强马尔可夫过程

随机过程

强马尔可夫过程(strong Markov process)，指这样一种随机过程，在已知它状态条件下，它未来的演变(将来)不依赖于它以往的演变(过去)。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关的特性称为马尔可夫性。其中，“现在”是指固定时刻。但实际问题中常需将马尔可夫性中的“现在”这个时刻概念推广为停时。直观上讲，停时是描述某种随机现象发生的时刻，它是普通时间变量的随机化。例如，考察从圆心出发的平面上的布朗运动，要研究首次到达圆周的时刻t以前的事件和以后的事件的条件独立性，这里的t就是停时，并认为t是“现在”。这种把“现在”推广为停时情形的“现在”，且在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”无关的特性被称为强马尔可夫性。具有此性质的马尔可夫过程称为强马尔可夫过程。以前，许多人认为马尔可夫过程必然是强马尔可夫过程。直到1956年，才有人找到马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。马尔可夫过程理论的进一步发展表明，强马尔可夫过程才是马尔可夫过程的真正研究对象。

定义

强马尔可夫过程(strong Markov process)是一类随机过程，指具有比马尔可夫性更强的条件无后效性的随机过程。如果对于任意停时和(后代数)，有

其中是前代数，则称马尔可夫过程是强马尔可夫过程。由等式(1)刻画的性质称为强马尔可夫性。因为任意非负常数都是一个停时，所以(1)式是“马尔可夫过程”中性质2的加强(参见下文“马尔可夫过程”)，而强马尔可夫性只不过是在描述马尔可夫性的等式中用任意停时代替任意固定的时刻。

许多常见的马尔可夫过程，例如，离散时间参数马尔可夫过程，布朗运动等都具有强马尔可夫性，但也存在马尔可夫过程不是强马尔可夫过程的例子。

马尔可夫过程

马尔可夫过程(Markov process)简称马氏过程，是一类重要的随机过程。设为定义在概率空间上取值于可测空间的随机过程，为的上升域族，.如果下面的性质1成立：

则称过程为马尔可夫过程，可测空间称为马尔可夫过程的状态空间。一般情形下，因为要考虑形如集合的概率，人们还要求E包含所有单点集性质1与下列性质之一等价：

注意，若性质1，2，3成立，则把其中的换成的自然域族后相应的性质仍成立，而且这时性质2有如下的直观意义：当已知系统在时刻以前(含)的历史时，系统在以后的发展只依赖于系统在时刻的状态而与它在以前的情况无关，此即所谓马尔可夫性，这正是马尔可夫过程的本质所在。

应当指出，尽管一些著作中也把马尔可夫性称为无后效性，但它和多数著作中提到的无后效性是不一样的，后者是指过程的独立增量性质。相对于此，马尔可夫性只是一种条件无后效性。

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