形式语法

计算机科学中描述有限长字串的集合的方法

形式语法（formal grammar）是指计算机科学中描述有限长字串的集合的一种方法。

简介

形式文法之所以这样命名，是因为它与人类自然语言中的文法相似的缘故。

形式文法描述形式语言的基本想法是，从一个特殊的初始符合出发，不断的应用一些产生式规则，从而生成出一个字串的集合。产生式规则指定了某些符号组合如何被另外一些符号组合替换。举例来说，假设字母表只包含 'a' 和 'b' 两个字符，初始符号是 'S' ，我们应用下述规则：

1. S -＞ aSb

2. S -＞ ba

形式定义

一个形式文法 G 是下述元素构成的一个元组(N, Σ, P, S)：----有些书上也写成(V,T,S,P)

非终结符号集合 N。

终结符号集合 Σ ，Σ 与 N 无交。

取如下形式的一组产生式规则 P，

(Σ ∪ N)*中的字串 -＞ (Σ ∪ N)* 中的字串字串，并且产生式左侧的字串中必须至少包括一个非终结符号。

起始符号 S，S 属于 N。

一个由形式文法 G = (N, Σ, P, S) 产生的语言是所有如下形式字串的集合，这些字串全部由终结符号集 Σ 中符号构成，并且可以从初始符号 S 出发，不断应用 P 中的产生式规则而得到。

例子

考虑如下的文法 G ，其中 N = {S, B}, Σ = {a, b, c}, P 包含下述规则

1. S -＞ aBSc

2. S -＞ abc

3. Ba -＞ aB

4. Bb -＞ bb

非终结符号 S 作为初始符号。下面给出字串推导的例子：（推导使用的产生规则用括号标出，替换的字串用黑体标出）

S -＞ (2) abc

S -＞ (1) aBSc -＞ (2) aBabcc -＞ (3) aaBbcc -＞ (4) aabbcc

S -＞ (1) aBSc -＞ (1) aBaBScc -＞ (2) aBaBabccc -＞ (3) aaBBabccc -＞ (3) aaBaBbccc -＞ (3) aaaBBbccc -＞ (4) aaaBbbccc -＞ (4) aaabbbccc

很清楚这个文法定义了语言 { anbncn | n ＞ 0 } ，这里 an 表示含有 n 个 a 的字串。

形式文法与 Lindenmayer 系统（L-系统）类似，但有几点不同：L-系统不区分终结符号和非终结符号；L-系统限制规则的应用顺序；L-系统能不停地运行，产生一个无限长的字串行。通常情况下，每一个字串同空间中的一个点集联系起来，而L-系统的输出就是这个点集列的极限。L-系统可以用于模拟细胞的生长，所以又被称为发展系统。

文法分类

某些类型的文法及其产生的语言得到了细致的研究并被单独命名。最常见的文法的分类系统是诺姆·乔姆斯基于1950年发展的乔姆斯基谱系，这个分类谱系把所有的文法分成四种类型：即0型、1型、2型和3型，又可以分别称为无限制文法、上下文相关文法、上下文无关文法和正规文法。任何语言都可以由无限制文法来表达，馀下的三类文法对应的语言类分别是递归可枚举语言、上下文无关语言和正规语言。这四种文法类型依次拥有越来越严格的产生式规则，同时文法所能表达的语言也越来越少。尽管表达能力比无限制文法和上下文相关文法要弱，但由于能高效率的实现，四类文法中最重要的是上下文无关文法和正规文法。例如对上下文无关语言存在算法可以生成高效率的LL 分析器和LR 分析器。

0型文法

设G=（VN，VT，P，S），如果它的每个产生式α→β是这样一种结构：α∈(VN∪VT)*且至少含有一个非终结符，而β∈(VN∪VT)*，则G是一个0型文法。0型文法也称短语文法。一个非常重要的理论结果是：0型文法的能力相当于图灵机(Turing)。或者说，任何0型文语言都是递归可枚举的，反之，递归可枚举集必定是一个0型语言。0型文法是这几类文法中，限制最少的一个，所以我们在试题中见到的,至少是0型文法。

1型文法

1型文法也叫上下文有关文法，此文法对应于线性有界自动机。它是在0型文法的基础上每一个α→β,都有|β|＞=|α|。这里的|β|表示的是β的长度。

注意：虽然要求|β|＞=|α|，但有一特例：α→ε也满足1型文法。

如有A-＞Ba则|β|=2,|α|=1符合1型文法要求。反之,如aA-＞a，则不符合1型文法。

2型文法

2型文法也叫上下文无关文法，它对应于下推自动机。2型文法是在1型文法的基础上,再满足：每一个α→β都有α是非终结符。如A-＞Ba,符合2型文法要求。

如Ab-＞Bab虽然符合1型文法要求,但不符合2型文法要求，因为其α=Ab，而Ab不是一个非终结符。

3型文法

3型文法也叫正规文法，它对应于有限状态自动机。正规文法有多种等价的定义，我们可以用左线性文法或者右线性文法来等价地定义正规文法。左线性文法要求产生式的左侧只能包含一个非终结符号，产生式的右侧只能是空串、一个终结符号或者一个非终结符号後随一个终结符号。右线性文法要求产生式的左侧只能包含一个非终结符号，产生式的右侧只能是空串、一个终结符号或者一个终结符号後随一个非终结符号。它是在2型文法的基础上满足:A→α|αB（右线性）或A→α|Bα（左线性）。

如有：A-＞a,A-＞aB,B-＞a,B-＞cB，则符合3型文法的要求。但如果推导为:A-＞ab,A-＞aB,B-＞a,B-＞cB或推导为:A-＞a,A-＞Ba,B-＞a,B-＞cB则不符合3型方法的要求了。具体的说，例子A-＞ab,A-＞aB,B-＞a,B-＞cB中的A-＞ab不符合3型文法的定义,如果把后面的ab,改成“一个非终结符+一个终结符”的形式（即为aB）就对了。例子A-＞a,A-＞Ba,B-＞a,B-＞cB中如果把B-＞cB改为B-＞Bc的形式就对了,因为A→α|αB（右线性）和A→α|Bα（左线性）两套规则不能同时出现在一个语法中,只能完全满足其中的一个,才能算3型文法。

注意：上面例子中的大写字母表示的是非终结符,而小写字母表示的是终结符。

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