微分代数

数学分支

代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

代数

代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如：布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数，自然地被称为从A到K中的映射代数。当A=N时，代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数。

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展。

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

导子

导子是数域的一个参数。阿贝尔数域K的导子是一个最小的正整数m，使得K含于m次分圆域Q(ζm)中。更一般地，阿贝尔扩张K/k的导子是k的一个最小的模m(即k的一种除子)，使得K含于k的m射线类域中。狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)称特征χ(即对于某个正整数m定义的乘法同态(Z/mZ)→C)的导子是一个最小的使χ可定义的正整数m。

导子是从数学分析中移植于代数系统，用于讨论一般可分扩张的一种运算。设L是K的扩域，映射D：K→L，若满足：

则称D是K的一个L值导子。在L=K时，或不需要特别强调某个L时，可以径称导子。若K/F是域扩张，K的求导D在F上的限制D′=D|F是F的求导，则称D是D′在K上的拓展。对特征p≠0的域F，K/F成为可分扩张，当且仅当F的每个导子都能拓展为K的导子。

微分环

微分环是带导子集的环。若环R有一个导子集合Δ，则Δ称为R的微分系，R称为有微分系Δ的环，或简称微分环或Δ环.设S是有微分系Δ的环R的子环，若S也是有微分系Δ的环，则S称为R的微分子环，或Δ子环，而R称为S的微分扩环。R至少有两个Δ子环{0}和R，称为R的平凡微分子环。其余的微分子环称为非平凡微分子环，或真微分子环。有微分系Δ的环R的子环S是Δ子环的充分必要条件是：a∈S，δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}时，Δ环及Δ子环分别记为δ环，δ子环。

一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环

使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则：

，对任何成立。

注意环可以是非交换的，从而交换环情形下的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式未必成立。

微分域

一个微分域是装备一个导子的域K。如上所示，导子在域K上亦满足莱布尼兹乘积法则，即对域K中任何两个元素 u 与 v 有。这和上述形式不同，因为域上的乘法是可交换的。

而且，导子在域K的加法下是一同态

如果 K 是一个微分域，那么我们定义常数域为。

微分代数

一个域 K 上的微分代数是一个 K-代数 A，其中导子与域K是可交换的。也就是说，对所有与有。

同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则，以及对加法保持线性。从而，对所有与有

以及