微扰法

获得原状态信息的方法

微扰法是求解相对于某个初始系统具有一微小改变的系统的电磁场本征值的一种近似方法。它将待求系统看作为由某个较简单的初始系统的某个参量发生微小改变所形成的微扰系统,那么只要初始系统的本征值和场分布是已知的，则就可以利用微扰公式并将其中微扰系统的场以初始系统的场或与之相关的场来近似，从而求出待求系统本征值的近似值。

简并微扰理论

就是量子力学中微扰论的简并微扰。

在近自由电子近似中，假定周期场的起伏较小，作为零级近似，可用势场的平均值V（平均）代替V(X)，把周期起伏[V(X)-V(平均)]作为微扰来处理。这是模型。计算的过程和量子力学中一样，算本征值的一级，二级修正和波函数的一级修正。

根据微扰理论，在原来的零级波函数中将掺入与它有微扰矩阵元的其它零级波函数，而其它们的能量差越小掺入的部分就越大。在这个问题中与k态有矩阵元的只是k+n/a各态，上述发散的结果反映当k为-nπ/a时有另外一个状态k'=nπ/a它们相差k'-k=2πn/a，因此有矩阵元，而且能量为零，从而导致了发散的结果。

所以，对于接近-nπ/n的k状态在周期场的微扰作用下最主要的影响是掺入了和它能量接近的状态，针对这种情况近似的处理方法是忽略其它掺入的状态，把波函数写成两个波函数的线性组合，然后根据波动方程去确定系数。这种方法就是固体物理里的简并微扰。如果不按简并处理那么在布里渊区边界能量就发散喽。

非简并微扰理论

设一个量子体系的Hamilton算符为∧H(不含时),则体系的能量本征值方程为H∧ψn=Enψn(1)设每一个本征值En只有一个与之对应的本征函数ψn,即不存在简并情况。求解方程(1)就是求体系的能量本征值En和能量的本征函数ψn。对大多数复杂的量子体系,求出方程(1)的精确解是很困难的,甚至无法求解,这时我们可以利用微扰理论求方程的近似解。大多数量子力学教材往往只计算到波函数的一级近似和能量的二级近似[1][2][3],文献[4]只给出了波函数二级修正的系数表达式,文献[5]讨论了波函数的二级修正,但没有计算能量的三级修正,文献[6]给出了能量的三级修正公式,文献[7]虽然给出了波函数的二级修正和能量的三级修正,但都没有作详细的推导。受文献[5]的启发,我们采用逐级近似展开的方法,详细计算了波函数的二级修正和能量的三级修正。为了后面的讨论方便,对波函数和能量的低级近似公式也一并进行计算。2非简并定态微扰理论设体系的Hamilton算符∧H可以分解为两部分H∧=∧H0+∧H′(2)其中∧H′是微扰。而∧H0的本征值方程为H∧0ψ(n0)=E(n0)ψ......

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