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radon变换

数学术语

拉东变换是一个积分变换，它将定义在二维平面上的一个函数 f(x,y) 沿着平面上的任意一条直线做线积分，相当于对函数 f(x,y) 做 CT扫描。其基本应用是根据 CT 的透射光强重建出投影前的函数 f(x,y)，即拉东变换的反演问题。拉东变换由拉东在 1917 年提出，他也同时提出拉东变换的反演公式，以及三维空间的拉东变换公式。 此后不久，更高维空间的拉东变换被提出。 在复数域上有和拉东变换相似的 Penrose 变换。

函数定律
若函数 f(x,y) 表示一个未知的密度，对 f(x,y) 做拉东变换，相当于得到 f(x,y) 投影后的信号。举例来说，f(x,y) 相当于人体组织，断层扫描的输出信号相当于对 f(x,y) 做拉东变换。 可以用拉东反变换从投影后的结果重建原始的密度函数 f(x,y)。拉东变换是重建CT扫描的数学理论基础。另一个广为人知的名词是三维重建。
拉东变换后的信号称作 “正弦图”，因为一个偏离中心的点的拉东变换是一条正弦曲线。所以对多个点状分布的拉东变换会看起来像许多不同振福、相位的正弦函数叠加在一起。
定义
令函数 f(x,y) 在 R2上有紧致支集 (compact support)。令 R 为拉东变换算子，则 Rf(x,y) = R(s,α) 的定义如下：
由于狄拉克δ函数的限制，以上积分沿着直线 x cosα + y sinα = s 进行。CT 扫描可以沿任意法方向 α、与原点成任意距离 s 的直线。得到 R(s,α) 以后可以利用拉东变换的反演来重构 f(x,y)。
反演
要实现拉东变换 R(s,α) 的反演，重构出函数 f(x,y)，可以对变量 s 做傅里叶积分得
右边刚好是 f(x,y) 的二维傅里叶变换
其中 kx = k cosα，ky = k sinα。于是 F(kx,ky) 任意点可算，再用二维傅里叶逆变换公式
即可求得原先的函数 f(x,y)。拉东变换中的线积分相当于二维傅里叶变换里沿着同相位线的积分。对 s 做傅里叶变换相当于沿垂直于同相位线的方向也做傅里叶变换，从而得到二维傅里叶变换。最后用傅里叶逆变换即得反演。
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