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拉盖尔多项式

数学术语

在数学中，以法国数学家埃德蒙·拉盖尔（英语：Edmond Laguerre）命名的拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。拉盖尔多项式，是一列常见的定义于非负实数集上的正交多项式，是伴随于Gamma分布密度函数的正交多项式，在量子力学，统计学等方面有重要应用。

概念定义
在数学中，拉盖尔多项式定义为拉盖尔方程的标准解。下列为拉盖尔方程：
此方程只有当n为非负时才有非平凡解。 是拉盖尔方程的正则奇点。在 及其邻域上为有限的级数解是
级数的收敛半径为无限大。
如n为整数，解y（x）退化为n次多项式。用适当的常数乘这些多项式，使最高次幂项成为 就叫作拉盖尔多项式，记作 ，
拉盖尔多项式由罗德里格公式推导出公式，如下：
它可以用递推关系表达，如下：
拉盖尔多项式的递推关系也可以表现为：
此多项式是区间 上函数全体按照如下定义内积时的标准正交多项式：
广义
定义
称在 上伴随核函数 的标准正交多项式为广义拉盖尔多项式，记为 。广义拉盖尔多项式也可以由如下的罗德里格公式给出：
当 时，广义拉盖尔多项式退化为标准拉盖尔多项式。
广义拉盖尔多项式有如下解析表达式：
广义拉盖尔多项式有如下递推关系：
性质
正交性
伴随拉盖尔多项式在区间[0, ∞)上以权函数正交：
平方积分
相关恒等式
关于一般拉盖尔多项式和拉盖尔多项式，可以得到以下两个恒等式：
定理1：设 是一般拉盖尔多项式，那么， 及 ,当 时，有恒等式
其中， 。
定理2：设 是拉盖尔多项式，那么， 及 ，有恒等式
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