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拟合曲线

数理科学名词

拟合曲线，是根据离散的数据点绘制的曲线，用于解决在工程设计或科学实验中所得到的数据往往是一张关于离散数据点的表 ，没有解析式来描述 x-y关系。

基础介绍
对于平面上给定的点 ，要寻找y与x之间的近似函数关系 ，插值法要求曲线 准确通过每个给定点 ；而m较大时无论是高次插值还是分段低次插值都将很复杂，数据 一般是由实验观测得到的，总会带有观测误差，刻意要求 并不能反映真实的函数关系，反而会引起 的波动加剧，因此用 近似描述已知数据 ，不必要求在每个点处，误差 ，都为0，只需在所有点处的某种总体误差最小即可，这就是所谓的曲线拟合问题，亦称为离散函数最佳平方逼近问题。
设给定基函数 ，我们在集合
中寻求形如 的函数，使其近似已知数据。
定义1 对给定的数据 ，若
使得
则称 为曲线族中的最小二乘拟合曲线，并称
为均方误差。
要确定拟合曲线(1)中的待定系数 ，由(2)式知，就是求多元函数
的最小值点()，由多元函数取极值的必要条件，有
从而有
这是n+1个方程、n+1个未知数的线性方程组，借助矩阵运算，可写成如下矩阵形式：
其中， 而
方程组(3)称为法方程组，设 线性无关(且满足Haar条件)，则行列式 ，线性方程组(3)存在唯一的一组解。
若取基函数 ，法方程的系数矩阵显然非奇异，此时一般称为多项式拟合，求解法方程组，得到拟合系数
从而得到
再由多元函数取极值的充分条件可证明，这样求出的 确实是方程组(2)的解，即 为最小二乘拟合曲线。
几种具体的拟合曲线类型
以上讨论的都是线性最小二乘拟合问题，即拟合曲线 ，也就是 是基函数 的线性组合，有些问题虽然数学模型不是线性模型，但通过变换可化为线性模型，则上述最小二乘拟合方法仍然可用。
指数函数拟合
选取拟合函数为指数函数
为待定常数，
这是一个关于 的非线性模型，现通过适当变换将其化为线性模型，为此对 两边取对数，有
令于是
这是一个关于 的线性模型，原来的已知数据 经取对数后变成一组新数据 ，这里
对这组新数据，求形如 的拟合曲线。
取基函数 则由(3)式可得法方程组，求解出 后即得到拟合曲线 ，从而得到
幂函数拟合
选取拟合函数为幂函数
为待定常数，
这也是关于 的非线性模型．两边取对数，同样可将其化为线性模型，即
令 则拟合曲线为
这时基函数为将原数据中的取对数，得新数据其中对此新数据，用拟合即可。
双曲型拟合
双曲型 也是关于 的非线性拟合模型，作变形
令 ，则拟合曲线为化成了关于 的线性拟合模型，这时新数据为 ，其中 。基函数为由法方程组(3)即可求出拟合曲线进而求出拟合曲线。
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