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挠率

数学术语

挠率，它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上，则称为挠曲线。

简介
挠率，它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率。平面曲线是挠率恒为零的曲线。空间曲线如不是落在一平面上，则称为挠曲线。
在三维曲线的基本微分几何中，曲线的挠率代表曲率平面的扭曲程度。 总之，空间曲线的曲率和扭转类似于平面曲线的曲率。 举个例子，它们是由Frenet-Serret公式给出的Frenet框架的微分方程系统中的系数。
定义
令C为弧长s和单位切线向量t参数化的空间曲线。 如果在某一点的C的曲率k不为零，那么该主点法线向量和该二次正交向量是单位向量。
τ测量给定点上的双向正矢量的旋转速度。 从等式可以看出
这意味着
备注：二次向量的导数与二次正交和正切相垂直，因此必须与主法向量成正比。 负号只是一个惯例：它是这个主题的历史发展的产物。
通常由σ表示的扭转半径定义为
几何相关性：τ（s）测量二次正交向量的周转。 扭转越大，双正则向量围绕由切线向量给出的轴旋转越快（参见图示）。 在动画图中，双向正矢量的旋转在扭转函数的峰值处是清晰可见的。
属性
（1）具有非零曲率的平面曲线在所有点都具有零扭转。 相反，如果具有非零曲率的规则曲线的扭转相同为零，则该曲线属于固定平面。
（2）螺旋的曲率和扭转是恒定的。 相反，曲率和挠率都是常数和非零的任何空间曲线都是螺旋线。 右旋螺旋的挠率是正的，对于左手螺旋是负的。
说明
令r = r（t）为空间曲线的参数方程。 假设这是一个规则参数化，并且曲线的曲率不会消失。 r（t）是t的三次微分函数，其中R3和向量中的值都是
并且它们是线性独立的。
那么挠率可以由下列公式计算：
对于r =（x，y，z），分量中的公式为
挠率和曲率的区别
曲率是弯曲，挠率是扭曲。对一条平面曲线，主法向量是在平面上，与切向量垂直。次法向量等于切向量叉乘主法向量，与平面垂直。由于平面曲线的次法向量处处与平面垂直，所以平面曲线挠率处处为零。也就是发生弯曲，不扭曲。而对于三维曲线，某一点曲率，挠率都不为零，同时发生弯曲和扭曲。上面讲的是三维空间中曲线的挠率。曲面的曲率，挠率可类推。至于更高维的挠率(包括曲率)，则要用到微分几何。
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