排列数公式

数学术语

排列数公式就是从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。加法原理和乘法原理是排列和组合的基础。

排列数

从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的排列数。记作符号。A是英文arrangement（排列）的第一个大写字母。

例如，从7个不同的元素中任取5个元素的排列数为，从10个不同的元素中任取7个元素的排列数为。

排列数公式

公式

公式A是排列公式，从N个元素取M个进行排列（即排序）。

符号

C：组合数

A：排列数（在旧教材为P）

N：元素的总个数

M：参与选择的元素个数

!：阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120

C：Combination 组合

P：Permutation排列 (现在教材为A-Arrangement)

推导过程

求排列数可以按依次填m个空位来考虑：假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素a1,a2,a3,…,an中任意取m个去填空,一个空位填1个元素，每一种填法就对应1个排列，因此，所有不同填法的种数就是排列数。

填空可分为m个步骤：

第1步，第1位可以从n个元素中任选一个填上，共有n种填法；

第2步，第2位只能从余下的n-1个元素中任选一个填上，共有n-1种填法；

第3步，第3位只能从余下的n-2个元素中任选一个填上，共有n-2种填法；

……

第m步，当前面的m-1个空位都填上后，第m位只能从余下的n-(m-1)个元素中任选一个填上，共有n-m+1种填法。

根据分步计数原理，全部填满m个空位共有n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种填法。所以得到公式：

这里n，m∈N*，并且m≤n这个公式叫做排列数公式其中，公式右边第一个因数是n，后面的每个因数都比它前面一个因数少1，最后个因数为n-m+1，共有m个因数相乘。

在14世纪，法国数学家本·热尔松在其代表作《数之书》中证明了ｎ个元素的全排列数ｎ!；1881年，美国数学家温特沃斯在其所著的《代数学基础》中对排列数公式作了证明，所用方法与现行教科书的方法一致，即通过分步乘法计数原理进行证明。1897年，英国数学家鲍尔在其著作《初等代数》中则采用了本·热尔松的证明方法。

基本理论

排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关。如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合

两个基本原理是排列和组合的基础

(1)加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。

(2)乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。

这里要注意区分两个原理，要做一件事，完成它若是有n类办法，是分类问题，第一类中的方法都是独立的，因此用加法原理；做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理。

这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来。

特点

排列数公式有以下一些特点：

1．该公式共有m项乘积。

2．在这m项乘积中第一个因数是n，以后各项均比前一项少1，最后一项是n-m+1。

引入阶乘n!以后，排列数公式变形如下：