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整式不等式

数学概念

整式不等式(inequality of integral expression)是一种有理不等式，指不等式的两端都是整式者，整式不等式按未知数的个数和不等式的次数分类，含有n个未知数，且两端整式最高次数为一次的不等式称为n元一次(或n元线性)不等式，如果不等式两端整式的最高次数是r，那么这个不等式称为n元r次不等式。

基本介绍
整式不等式是有理不等式中的一类，指两个整式由不等号连结而成的不等式。这两个整式次数的较大者定义为不等式的次数。在解不等式问题中，最基本的整式不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式等。
整式不等式的一般形式为
整式不等式的解法
为方便叙述，下面将不等式的解集统一记为D。
(1)当n=1时， (a≠0)是一元一次不等式。
若a>0，则D= ；
若a<0，则D= 。
(2)当n=2时， (a2≠0)是一元二次不等式，两端同时除以a2即可归结为下面两种情形之一：
①x2+px+q>0.
若 ，则D=(-∞,+∞)；
若 ,则
②x2+px+q<0.
若 ,则 ；
若 ,则
(3)当n≥3时,称 为一元高次不等式,该类不等式的求解常采用“数轴穿根法”,其步骤如下:
①两端同时除以an得 (或<0)；
②因式分解得
或
其中
③化简得 (或<0)；
④在x轴上依次标出
⑤从x轴右上方开始,依据“奇穿偶返”原则进行穿线,x轴上方(下方)曲线所对应区间的并集便是 (或<0)的解集。
例题解析
【例1】解关于x的不等式ax-a2+3a>x+2。
解 原不等式可化为(a-1)x>(a-1)(a-2)，
当a=1时，D=∅；
当a>1时，D=(a-2,+∞)；
当a<1时，D=(-∞,a-2)。
【例2】解不等式
解 因式分解得x(x-1)2(x-2)(x+4)≥0，
其“数轴穿根”图如图1所示：
由图1可知。
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