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整点问题

数学术语

正平面直角坐标系内,横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点。在数学竞赛试题中,常涉及整点问题,或讨论以整点为顶点的平面图形的存在性,或讨论涉及整点的平面图形的性质,或计算平面区域内含整点的个数,或应用整点知识来解决其他相关问题等。

例1
·三维空间9个整点,试证在两两相连的线段内,至少有一个坐标为整数的内点
·证明：令9个点的坐标分别为（xi,yi,zi）, i=1,2,…,9
· 对于x1,x2,…x9必有9/2=5个奇偶性相同，令为x1,x2,…x5
· 对于y1,y2,…y5必有5/2=3个数奇偶性相同，令为y1, y2, y3
· 对于z1,z2,z3必有3/2=2个数奇偶性相同，令为z1,z2。
· 则（x1, y1, z1）, (x2, y2, z2)连成的线段中点为一个整点，即这条线段有一个整点的内点。
例2
在平面直角坐标系中至少任取多少个整点（两个坐标都是整数）才能保证其中存在3个构成三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）
解：任一点的坐标（a , b）只有如下4种可能： (奇数，偶数)、(奇数，奇数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)。 因而5个点中必有两个点模2的格式一样。
·设2|(x1－x2)，2|(y1－y2)
·即x1－x2=2k, y1－y2=2l，则三角形面积由行列式可求得：
为整数,命题得证.
例3
·在平面直角坐标系中至少任取多少个整点（两个坐标都是整数）才能保证其中存在3个构成三角形（包含3点在一条直线上）的面积是整数（可以为0）
解：
·任一点的坐标（a , b）只有如下4种可能：
·(奇数，偶数)、(奇数，奇数)、(偶数，奇数)、(偶数，偶数)。
·因而5个点中必有两个点模2的格式一样．
·设2|(x1－x2)，2|(y1－y2)
·三角形1的面积(x2-x1)*(y2-y1)/2
·三角形2的面积(x3-x2)*(y2-y3)/2
·三角形3的面积(x3-x1)*(y1-y3)/2
·矩形的面积(x3-x1)*(y2-y3)
·三角形S的面积=(x3(y2-y1)+y3(x1-x2)-x1y2+x2y1)/2
= (x3(y2-y1)+y3(x1-x2)-x1y2+x2y1 + x2y2-x2y2)/2
=((x3-x2)(y2-y1)+(y3-y2)(x1-x2))/2
为整数,钝角三角形与直角三角形类似，则命题得证。
例4
在平面直角坐标系中至少任取多少个整点才能保证存在3个点构成的三角形的重心是整点？
解：
设(x，y)是整点，每个分量模3后有如下表的结果：
根据3个点重心是整点的情况:
1.落在上表中的同一格中，
2.若有3点占满一行，
3.有3点占满一列，
4.若存在一组均匀分布(每行取一个,每列取一个)。如(0,0)(1,1)(2,2)
若只有8个点，也不能保证有3点的重心是整点．（因为若每个格子都有2点，则只占有4个格子，无法保证上面的要求）
考虑9个点的情况:假设存在9个点，其中任3点的重心都不是整点．
则这9个点，至少占有9/2=5个格子（因为每格中最多有2个点，否则有3个点的重心为整点），每行最多有2格，有5/2=3行,所以每行都有点,同理，每列都有点．
不妨设第一行2格，第二行2格，第三行1格,
前2 行有两种模式：见图1
这样第三行的点无论在哪一列都构成占满一列或构成一组均匀分布．满足前面说的三点重心是整点的情况．故 9个点能保证其中存在3个点的重心是整点．
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