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斜对称矩阵

交错矩阵

设M是方阵， 如果它的转置M^t加上它本身恰好是零矩阵，那么就称M是斜对称矩阵。斜对称矩阵也可以称为反对称矩阵或交错矩阵。斜对称矩阵具有性质：数域P上的斜对称矩阵的主对角元全是零；数域P上的n级斜对称矩阵A，如果n是奇数，则|A|=0，因此数域P上的奇数级斜对称矩阵一定是奇异的（即不可逆的）。

定义
设 ， 如果 ，即 ，则称A为斜对称矩阵（也称为反对称矩阵）。斜对称矩阵的主对角线所有元素为零，因为 ，所以 。
例如：
运算性质
和运算
设 是斜对称矩阵，则A+B为斜对称矩阵。
证明：设A,B为斜对称矩阵，所以有 。
易得 ，因此A+B为斜对称矩阵。
数乘运算
设 是斜对称矩阵，则 为斜对称矩阵。
证明：设A为斜对称矩阵，所以有 。
易得 ，因此kA为斜对称矩阵。
幂次运算
设 是斜对称矩阵。
（1）当k为偶数时， 为对称矩阵；
（2）当k为奇数时， 为斜对称矩阵。
逆运算
设 是斜对称矩阵，若 ，则 仍为斜对称矩阵。
伴随运算
设 是斜对称矩阵。
（1）当n为偶数时，adjA为斜对称矩阵；
（2）当k为奇数时，adjA为对称矩阵。
证明：设A为斜对称矩阵，所以有 。
故有当n为偶数时，得 ，即为斜对称矩阵；当n为奇数时，有 ，即为对称矩阵。
定理
定理1
任意方阵A均可以表示成为一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和。
证明：设A为任意方阵，易得
令
则有 ，即B是一个对称矩阵，C是一个斜对称矩阵，故命题成立。
定理2
设 是中心斜对称矩阵，则有：
（1）S可以表示成
其中 。
（2） 。
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