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斯蒂弗尔-惠特尼类

示性类

斯蒂弗尔-惠特尼类(Stiefel-Whitney class)是一种相应于正交群O(n)的模2系数的示性类，它有很多基本性质，如：若ξ=η，则Wi(ξ)=Wi(η)；若ε为平凡丛，则Wi(ε)=0，i＞0，这是因为存在从ε到底空间为一个点的向量丛的映射；若ε为平凡丛，则Wi(ε⊕η)=Wi(η)。

基本介绍
斯蒂弗尔-惠特尼类是一种相应于正交群O(n)的ℤ2系数的示性类。为了定义斯蒂弗尔-惠特尼类，先叙述一个定理：设h*是一种有乘积的上同调论，使得对于每个n≥1 ，有xn∈h1(ℝPn) 满足：
1.h*(ℝPn)=h*(Pt)[Xn]/xn+1n ；
2.若i:ℝPn→ℝPn+1为包含映射，则i*xn+1=xn（h*(Pt)为h*下一点构成空间的上同调环），
定义
具体定义
给定向量丛p:E→B，纤维为ℝn，结构群G为实正交群O(n)。对应的配丛为p:Ek→B，纤维Fk为斯蒂弗尔流形Vn,k。
πi＜n-k(Vn,k)=0
πn-k(Vn,k)=ℤ，n-k奇，或k=1
πn-k(Vn,k)=ℤ2，n-k偶
上同调类αk∈Hn-k+1(B;πn-k(Vn,k))模去2后，称为向量丛E→B的第k斯蒂弗尔-惠特尼类，记为
wq=αn-q+1∈Hq(B;ℤ2),q=1,2,...,n
w0=1
多项式W(t)=w0+w1t+...+wqtq+...+wntn
称为向量丛的斯蒂弗尔-惠特尼多项式。
公理化定义
对于以B为底空间的每个实向量丛ξ:E→B，存在唯一的上同调类wi(E)∈Hi(B;ℤ2)(0≤i≤n)满足：
1.wi＞dimE(E)=0；
2.自然性：对拉回f*(E)，有wi(f*(E))=f*(wi(E)) ；
3.惠特尼求和公式：若E1与E2的底空间相同，wk(E1⨁E2)=∑i+j=kwi(E1)wj(E2)，w0(E)=1；
4.非平凡条件：对ℝP∞上典范线丛γ1，w1(γ1)∈H1(ℝP∞;ℤ2)非零。
它们称为O(n)丛ξ的斯蒂弗尔-惠特尼类。
构造
设wi(ξ)=Φ-1SqiΦ(1)=Φ-1Sqiμ，其中Φ为托姆同构，Sq为斯廷罗德平方，则wi(ξ)为第i斯蒂弗尔-惠特尼类。
历史背景
1935年，斯蒂弗尔定义了光滑流形的切丛的示性类，同年，惠特尼定义了单纯复形上球面丛的示性类。惠特尼乘积定理于1940,1941由惠特尼，于1948年由吴文俊提出。1966年，希策布鲁赫给出了公理化定义。
性质
若ξ≅η ，则wi(ξ)=wj(η) 。
若ε为平凡丛，则wi(ε)=0，i＞0，这是因为存在从ε到点上向量丛的丛射。
若ε为平凡丛，则wi(ε⨁η)=wi(η) 。
若ξ为有欧几里得度量的ℝn向量丛，且有处处非零的截面，则wn(ξ)=0，若ξ有k个独立的截面，则ξ=ε⨁ε⊥，其中ε为k维平凡丛，从而wi(ξ)=wj(ε⊥)，所以wn-k+1(ξ)=wn-k+2(ξ)=...=wn(ξ)=0。
对于一个O(n)向量丛ξ，w(ξ)=1+w1(ξ)+w2(ξ)+...+wn(ξ)称为ξ的全斯蒂弗尔-惠特尼类，于是由惠特尼乘积定理有惠特尼求和公式w(ξ⨁η)=w(ξ)w(η) 。
对于一个CW复形X，以X为底空间的向量丛ξ是很多的，当X=M为可微流形时，称切丛τ(M)的斯蒂弗尔-惠特尼类为M的斯蒂弗尔-惠特尼类。对于流形M，若τ(M)为平凡丛，则称M为可平行化的。
流形Mn可定向，当且仅当其W1=0。
设为ℝPn上的典范线丛，则
这由示性类的定义立即可知。设为n+1个的惠特尼和，其全空间中的每一个点可以表为
其中 是x在ℝPn 中的像点，则存在一个丛映射
(ε′为一维平凡丛)，
其中 为 的内积。φ为同胚，因此 ，从而有下列性质：
。
由于这个性质6与性质4，即得下列性质(斯蒂弗尔的一个定理)：
w(ℝPn)=1，当且仅当n=2r-1(r≥0) 。
因此ℝPn可平行化(即它的切丛为平凡丛)，仅可能是ℝP1，ℝP3，ℝP7，ℝP13，ℝP15，...。事实上，已经知道ℝP1，ℝP3，ℝP7可以平行化，而ℝP15，...不能平行化。此外，ℝP2m(m≥1) 上没有截面，即没有连续处处非零的向量场。
其他示性类
庞特里亚金类可视为系数为ℤ的斯蒂弗尔-惠特尼类，即对实向量丛E→B，有H4i(B;ℤ)→H4i(B;ℤ2)，pi(E)↦w2i(E)2。
对n阶可定向实向量丛E→X，wn(E)=e(E)(mod 2)。
复向量丛ξ的陈多项式模2，可视为实向量丛rξ的斯蒂弗尔-惠特尼多项式，即w2k(rξ)=ck(ξ) mod 2。
wn为n维流形M的欧拉示性数模2。
即斯蒂弗尔-惠特尼类与庞特里亚金类决定了非定向实向量丛的所有示性类，而对于定向实向量丛，还有欧拉类。
应用
实向量丛可定向当且仅当w1=0。
流形可定向当且仅当其切丛可定向。
流形为自旋流形，当且仅当其切丛有自旋结构。
流形M1与M2的积流形M1×M2的斯蒂弗尔-惠特尼多项式为w(t)=w(1)(t)w(2)(t)，其中w(1)(t)与w(2)(t)分别为M1与M2的斯蒂弗尔-惠特尼多项式。
若为n维实射影空间ℝPn上的典范线丛，则
w(t)=1+w1(t)，w1∈H1(ℝPn,ℤ2)≅ℤ2，w1≠0。
斯蒂弗尔-惠特尼类不能用丛的曲率表示。
切赫上同调
斯蒂弗尔-惠特尼类wr为于切赫上同调群Hr(X,ℤ2)取值的示性类。
对正合列0→SOn→On→ℤ2→0，有第一斯蒂弗尔-惠特尼类w1:H1(X,On)→H1(X,ℤ2)，则w1(P)=0当且仅当P为主SOn丛，即P为可定向向量丛。
对正合列，有第二斯蒂弗尔-惠特尼类w2:H1(X,SOn)→H2(X,ℤ2)，则w2(P)=0当且仅当P为主Spinn丛，即P为附有自旋结构的向量丛。
若P的表示为{𝓤,gαβ}，且Uα⋂Uβ为单连通，则可提升为，于Uα⋂Uβ⋂Uγ定义wαβγ=。由于ξ0(wαβγ)=1，故有wαβγ:Uα⋃Uβ⋃Uγ→ℤ2，则ℤ2上链表示w2(P)。
拓扑能带论应用
拓扑ℤ2不变量可被视为普法夫线丛可定向性的阻碍，并以斯蒂弗尔-惠特尼类来刻画。
若将π:Pf→𝕋视为实普法夫线丛，则其示性类为第一斯蒂弗尔-惠特尼类w1∈H1(𝕋,ℤ2)≅H1(𝕊1,ℤ2)≅ℤ2。且与Kane-Mele不变量的关系为ν=(-1)w1(Pf)。
尽管会使用高阶的斯蒂弗尔-惠特尼类，但对应的阻碍只有可定向性。
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