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无穷小量

数学名词

无穷小量是数学分析中的一个概念，在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常以函数、序列等形式出现。无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0。确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是，切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

定义
无穷小是极限为零的函数。如是自变量，因变量极限为零的函数。此时f(x)就是的无穷小。
无穷大是指绝对值大于任何数的函数，因此负无穷不是无穷小，而是无穷大。
设f在某x0的空心邻域有定义。
对于任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正数 （或正数 ）使得不等式 （或 ）的一切 对应的函数值 都满足不等式 ，则称函数 为当 （或 ）时的无穷小量。记做： （或 ）。
性质
1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。
2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。
3、无穷小量与自变量的趋势相关。
4、若函数 在某 的空心邻域内有界，则称g为当 时的有界量。
例如 ，都是当 时的无穷小量， 是当 时的无穷小量，而 为 时的有界量， 是当 时的有界量。特别的，任何无穷小量也必定是有界量。
5、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。
6、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。
7、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。
8、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。
9、恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。
无穷大
当自变量x趋于x0时，函数的绝对值无限增大，则称 为当 时的无穷大。记作 。
同样，无穷大不是一个具体的数字，而是一个无限发展的趋势。
阶的比较
前提条件
无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢。因此两个无穷小量之间又分为高阶无穷小 ，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
首先规定 都为 时的无穷小， 在某 的空心邻域恒不为0。
高低阶无穷小量
，则称当 时，f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量。
记做 ( )
特别的，f为当 时的无穷小量记作 ( )。
同阶无穷小量
当 （c≠0）时，ƒ和ɡ为 时的同阶无穷小量。
当x→0时的同阶无穷小量：
与
与
等价无穷小量
，则称ƒ和ɡ是当 时的等价无穷小量，记做： （ ）。
等价无穷小量应用最广泛，常见的有：
当x→0时
， ， （ ）
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