无限集合

特殊的集合

无限集合(infinite set)亦称无穷集合，是一类特殊的集合，它有下面几种定义：1.不是有限集的集合；2.可与其真子集对等的非空集合；3.既不是空集，又不与Mn={1，2，…，n}，n∈N对等的集合。势最小的无限集为可数集，即与自然数集N对等的无限集，可以证明：1.无限集必含有可数子集；2.无限集减去一有限子集仍为无限集；3.任一无限集与一可数集之并与该无限集间存在双射。

基本介绍

直观地讲，有限集（也叫有限集合）是包含有限个元素的集合。为了更好地理解有限集合，我们给出有限集的正式定义。

定义1 一个集合S与集合 (定义 )之间如果存在一一对应函数，则称S是有限的。否则，则称S是无限的。

例1 下列集合均为有限集：

(1)集合，该集合可以与集合建立起一一对应的函数关系。

(2) ，该集合可以与集合之间建立起一一对应的函数关系。

(3) ={1月，2月，3月，…，12月}，该集合可以与集合之间建立起一一对应的函数关系。

(4) ={星期一，星期二，…，星期日），该集合可以与集合之间建立起一一对应的函数关系。

定义2 有限集S的元素的个数称为S的基数，记为。

上述，的基数为26，的基数为12，的基数为7。

我们知道，集合之间可以进行各种运算，那么运算后集合的基数该如何给出呢？

定理1设A和B是两个有限集合，则有

我们可以通过如图1所示的维恩图来理解该定理。由图我们可以看出，（图1中部分）的个数计算了两次，所以要减去一个。

基于定理1我们可以得到

(1)当A和B分离时：；

(2)

研究方法

当我们面对“无穷”问题时，首先要提醒读者建立以下几个基本观点：

1)有限到无限是从量变到质变；

2)有限集的性质不能推广到无限，反之亦然；

3)要依靠理性的论证，而不是直观和常识来认识无限。

判断两个有限集合中元素的“多少”，其实仍然是采用“数数”的方法。“数数”的过程其实就是建立“一一对应”的映射的过程。例如：给定集合，计算S中元素数目其实就是建立如图2所示对应关系的过程。

这种方法可以进一步推广到无限集合。为此我们首先给出“势”的概念。

定义3 集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。对于两个集合A和B，如果存在从A到B的双射，就称A和B是等势(equipotent)的，记为A～B。集合的势越大，所含的元素越多。

当A=B时，一定有A～B。我们很快就会看到，反之不一定成立。

可数

定义4 凡是与自然数集等势的集合称为可数集（可列集）。

也可以将有限集合与可列集合称为可数集，故可列集也可称为可数无限（无穷）集合。A为可数无穷集合，当且仅当A可排列为，即可以对它的元素进行编号，也就是建立起该集合与自然数集的一一对应的关系。

定理2 任意无穷集合，必含有可数子集。

证明：设A为一无穷集合，从A中取出一个元素，命名为，由于A是无穷集合，从中可以取出元素，而也是非空集合，所以又可取元素。

由于A是无穷集合，所以可以一直取下去，从而得到A的可数子集。

定理3 整数集合Z是可数无穷集。

定理4 正偶数集合与自然数集合N等势。

定理5 平面上坐标为整数的点的集合与自然数集等势。

定义如图3所示的排列规则，可以将中的点逐一列出，从而表明与自然数集等势。

定理6 有理数集Q与N等势。

以下是判断一个集合是可数集合的一些结论。

●按照可数集合的定义，若A为有限集，则A一定是可数集合，否则若A与自然数集之间存在一个一一对应的映射，则A为可数集合。

●若A与某可数集合之间存在一一对应的映射，则A为可数集合。

●若A中所有元素可按某种规律进行排序，则A是可数集合。

●若A是n(>1)个可数集合的并集，则A是可数集合。

●若A是某个已知是可数集合的子集，则A是可数集合。

●若A是可数无穷多个可数集合的并集，则A是可数集合。

●若A是n(>1)个可数集合的笛卡儿乘积，则A是可数集合。

不可数无限集合

现在我们已经知道自然数集、偶数集、整数集、有理数集均是无穷可数集，那么实数集合是不是可数集呢？康托在研究集合时得到的一个重要结论就是：实数集不可数。这是康托的伟大发现。

定理7 实数区间(0，1)是不可数的。

无穷集合基数的比较

我们将自然数集的基数命名为，即，是最小的无穷基数。实数集的基数命名为，即，>。显然可数集A的基数：cardA≤。接下来：无穷集合的基数有多少个?

为了回答上述问题，我们需要先了解以下康托基本定理。该定理是康托在1883年证明的。

定理8 (康托基本定理)集合A的元素不能与2A建立一一对应的映射。

有了这个结论，我们就可以构造基数为任意大的集合，如。所有集合的基数从小到大可排列为：

现在的问题是：是否存在集合S，使得。即能否找到一实数集的子集，它是不可数集合，但又不能与实数集合建立一一对应的映射关系。这就是康托提出的“连续统假设”。

1900年，第二届国际数学大会在巴黎召开，20世纪国际数学界的头号巨人、德国数学家希尔伯特提出了23个基本问题，几乎指导了一个世纪，而现在只解决了一半。第一个问题就是如何证明集合论中的连续统假设。

连续统假设是数学中最基本的问题，近百年来一直是数理逻辑的中心问题之一，也是集合论最难的问题之一。经过许多著名数学家的不懈努力，已取得了重大进展：1930年，数学家证明连续统假设与选择公理是相容的，从而证明了连续统假设不成立是不可能的。1963年，美国数学家Cohen证明了选择公理与连续统假设是相互独立的，从而得出证明连续统假设成立是不可能的。由此得到，在我们所使用的公理系统中，连续统假设是不能判定的。

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