时间相关法

将偏微分方程（组）边值问题化为初边值问题求解的数值解法

时间相关法(time-dependent methods)是将偏微分方程(组)边值问题化为初边值问题求解的一种数值解法。物理学中大多数定常态问题，数学上大都表述为定常偏微分方程(组)的边值问题；动态问题则用非定常偏微分方程(组)的初边值问题来描述。若时间无限增大时，非定常问题若有稳态解，则此稳态解可视为相应定常问题的解，这就是时间相关法的基本思想。在这种意义上，时间相关法又称稳定法。

基本介绍

下面举一简单例子来阐明时间相关法的数学描述，考虑矩形区域上的拉普拉斯方程第一边值问题

其中为区域G的边界，为已知的边值函数，对问题(1)可构造一个热传导方程的初边值问题

其中为任意给定的初始函数。假定是定常问题(1)的解，是非定常问题(2)的解。可以证明：当时间时，

在一般的非线性方程情况下，要严格证明解的收敛性是困难的。在实际问题中，定常偏微分方程(组)往往是非线性、混合型的，直接用离散方法求其边值问题的数值解极为困难；非定常方程(组)虽增加一个时间变量，但其数学类型单一，便于构造普遍适应的数值解法，因而问题变得更容易解决，时间相关法的基本思想表明，数值求解过程完全对应于真实的物理过程。由于此法有明确的物理意义，适定的数学提法及普适的数值解法，在流体力学中被广泛用来计算跨音流和复杂的定常流动问题。

在流体力学方面的应用

时间相关法是引进时间相关项，将边值问题变为初-边值问题来求解。时间相关法虽然所采用的是非定常方程，但所求解的不是非定常问题。非定常问题是根据给定的初始条件研究流动随时间的演变过程。这种非定常的行径与所给的初始条件密切相关。而时间相关法的初值，只要满足定常问题的边界条件，是任意选取的。在求解的过程中流动随时间的变化并不代表真实的物理过程，人们也并不关心。当时间足够长之后，未知函数逐步与时间无关，最终渐近地达到稳态，这个达到稳态的解，就是所求的定常解。作为定常问题，人们所关心的也就是这个达到稳态的定常解。所以时间相关法实质是定常问题的一种选代法，时间变量只不过是用来记录迭代的次数而已。

Laplace方程差分边值问题的简单迭代格式实际上就是二维纯扩散方程的FTCS格式，只要取定就是。同样我们也可以由二维纯扩散方程的FTCS格式取定便可得到Laplace方程差分边值问题的简单迭代格式。这说明用迭代法求解定常的差分边值问题的收敛解和用差分法求解与时间相关的边值问题达到渐近稳态的解是等价的。对于其它类型的定常问题也有类似的等价性。

定常问题差分方程的迭代格式实际就是加上时间相关项后不定常问题的某个差分格式，定常差分方程边值问题的迭代收敛解就是不定常差分格式的渐近稳态解。因此我们也可以这样来考虑问题，就是将本来是定常的问题，其微分方程加上时间相关项，作为不定常问题来直接差分求解。这样求得的渐近稳态解，就是原定常问题的差分迭代解。并且我们知道，在将定常问题变为一个不定常问题时，只要保持原来定常问题的边界条件，初始条件的给定是无关紧要的，具有一定的随意性。这种将定常问题直接变为其相关的不定常问题来差分求解的方法，称为时间相关法。

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