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曼海姆定理

数学术语

曼海姆定理是指有一圆分别与三角形ABC的外接圆⊙O和直线AB,AC相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心或旁心。

性质
1、 在三角形ABC的外接圆⊙O中，另有一圆⊙M分别与其内切，并和AB,AC相切于P,Q，则PQ中点为三角形ABC的内心。
2、 在三角形ABC的外接圆⊙O外，另有一圆⊙M分别与其外切，并和AB,AC延长线相切于D,P,Q，则PQ中点为三角形ABC的旁心。
证明
证明一
当两圆内切时,过D作两圆外公切线上与B同侧一点为E，与C同侧一点为F
联结DP,DQ并延长，交外接圆于S,T.联结BD,AD,PQ,SA.
因为∠PDE=∠PQD=∠BPD=∠BAD+∠ADS,
∠SDE=∠SAD=∠SAB+∠BAD,
所以∠ADS=∠SAB，
所以S为弧AB中点,
所以S.I.C共线.
同理，B.I.T共线.
连接SC,BT.
对ABTDSC运用帕斯卡定理，则P.I.Q共线.
易知PQ⊥AI，故PI=IQ，I为PQ中点.
命题得证。
当两圆外切时，类似可证。
证明二
这里将P,Q改成E,F
作DG交AB于G，使得GE=GD
则∠GED=∠GDE
∵GE为小圆切线
根据切线长定理可得
GD为小圆切线
∴GD为大圆切线
连接DE延长交大圆于T，连接AT、AD
则∠GDE=∠TAD
∵∠GED=∠TEA∴∠TAD=∠TEA
∴△ATE∽△DTA
∴∠TAB=∠TDA=∠TBA
∴T为弧BTA中点
连接TC，则TC平分∠BCA
连接DF延长交大圆于S，同理可得S为弧ASC中点
连接SB，则SB平分∠ABC
∴TC、SB交于△ABC内心I
对ABTDSC运用Pascal定理，则E.I.F共线.
连AI，则AI平分∠EAF
根据切线长定理可得AE=AF
∴AI平分EF I为EF中点
命题得证。
当两圆外切时，类似可证。
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