最小数原理

数学术语

最小数原理是自然数所具有的一种基本性质，即任何非空的自然数集中都有最小的自然数。最小数原理的另一种表述是：设N是全体自然数组成的集合，M是N的一个非空子集，则M中必有最小数。该原理对于M是整数集、有理数集或实数集的有限非空子集，结论又是明显的，因此还有如下的原理：1.设R是全体实数组成的集合，T是R的有限非空子集，则T中必有最小数；2.设R是全体实数组成的集合，T是R的有限非空子集，则T中必有最大数。

基本介绍

集合理论的重要性在于它的方法论意义，我们知道，有些数学问题所涉及的各个元素的地位是不均衡的，其中的某个极端元素往往具有优于其他元素的特殊性质，能为解题提供方便，而利用这种极端性的依据之一就是有关集合的一条简单性质。

最小数原理I 设M是自然数集的一个非空子集，则M中必有最小数。

最小数原理Ⅱ设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最小数。

推论设M是实数集的一个有限的非空子集，则M中必有最大数。

用最小数原理解决存在性问题

由于最小数原理实际上是一个存在性定理，因而与证明大量存在性问题有着密切的关系，运用最小数原理处理存在性问题的关键首先是构造满足某种性质的数集M，然后利用M中的最小数证明命题。

【例1】设S为整数的非空集，满足：

（1）如果那么

（2）如果那么，

求证：在S中存在一个整数d，使得S由d的所有倍数组成。

证明：若S={0}，则命题显然成立。

若S≠{0}，设S+为S中所有正数组成的集合，则S+≠∅(这是因为，S非空，存在非零c∈S，由条件(1)知，0=c-c∈S，-c=0-c∈S，在c，-c中至少有一个为正)。从而S+中有最小数，记为d，由(2)，nd∈S(n∈Z)，即{nd|n∈Z} S。

另一方面，对任意的h∈S有h=nd+r，0≤r {nd|n∈Z}。

所以S={nd|n∈Z}，命题成立。

【例2】若干人聚会，其中某些人彼此认识．已知，如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人，则他俩便没有共同的熟人。证明：若聚会者中有人至少有20个熟人，则必然也有人恰好有20个熟人。

证明：我们考虑聚会者中熟人最多的某个人(若这样的人不止一个，则任取其中一个)，记为A，设A共认识n个人，这些人设为显然n≥20。

由于中任意两人与都认识A，即A是他俩的共同熟人，由已知可知与的熟人数目不等，又的熟人数目均不超过n，且至少有1个熟人，于是他们的熟人数目恰好为1，2，…，n．

由于n≥20，故数20在上述数列中出现，于是中有人恰好有20个熟人。

最小数原理与反证法相结合

【例3】一次10名选手参加的循环赛中无平局，胜者得1分，负者得0分，证明：各选手得分的平方和不超过285。

证明：由于得分的情况仅有有限多种，其中必有一种的平方和取最大值，这时各选手的得分必互不相同，因为若，则改变选手i与j之间的胜负，即用来代替时，由于

而平方和中其他项不变，故平方和严格增大，这与平方和已取得最大值矛盾。

于是，在时，最大，这时的值时。

所以各选手得分的平方和不超过285。

【例4】某地区网球俱乐部有20名成员，举行14场单打比赛，每人至少上场一次。求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同。

证明：以无序对表示参加第 j 场的比赛选手．并记

设M为S的一个非空子集，且M中所含选手对中出现的所有选手互不相同，显然这样的子集存在有限多个，设这种子集中元素个数最多的一个为显然，只需证明r ≥6。

假设 r≤5，由于是S的选手互异的集合中元素最多的集合，故中未出现过的20-2r名选手之间互相没有比赛，否则与的定义矛盾，这意味着这20-2r名选手所参加的比赛一定是同中2r名选手进行的，由于已知每名选手至少参加一场比赛，故除了中的 r 场比赛之外，至少还要进行20-2r，一场比赛，即总的比赛场数至少为

这与比赛总场次为14矛盾，这就证明了。

最小数原理与无穷递降法相结合

所谓无穷递降法是这样一种解题模式：在对问题作适当假设的前提下，构造某个无穷递降过程，但从问题本身看，这个过程应当是有限的，从而产生了矛盾，这说明假设不对，从而肯定了原命题的正确性，有时候我们可以让这个无穷递降的过程从某个最小(或最大)的元素出发，这样就把最小数原理与无穷递降法联系在一起了。

【例5】证明：方程

没有正整数解。

证明：假设方程(1)有正整数解，设是方程(1)的所有正整数解中x最小的一组解，由于

所以是偶数，故是偶数．设，则即

所以是偶数．设，则即

所以也是偶数．设代人上式得

所以也是(1)的一组正整数解，且，矛盾．故方程(1)没有正整数解。

下例的解法与无穷递降法有某些类似之处．

【例6】在某个星系的每一个星球上，都有一位天文学家在观测最近的星球，若每两个星球间的距离都不相等，证明：当星球的个数为奇数时，一定有一个星球任何人都看不到。

证明：设有n个星球(同时也表示n个天文学家) ，n为奇数，这些星球两两之间的距离所成的集合是有限集，故必有最小值，不妨设最小。

除外还有n-2个星球和n-2位天文学家，假若他们当中至少有一位看见已选出的星球，例如A3看见A2，如果谁也看不见A3，则结论成立；否则还有一位天文学家如A4可看见A3，如果谁也看不见A4，结论同样成立；否则还有一位天文学家如A5可看见A4，仿此下去，由于上述过程中前面星球上的天文学家看不见后面的行星，而n是一个有限数，必然有最后一颗星球任何人都看不到。

如果其他天文学家都看不到A1，A2，则再从n-2颗星球中选择距离最近的两个。依此类推，因为n是奇数，所以最后存在一颗星球，任何人都看不见它。

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