最近公共祖先

计算机术语

对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u和v的祖先且x的深度尽可能大。在这里，一个节点也可以是它自己的祖先。

算法简介

另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

这里给出一个LCA的例子：

对于T=

V={1,2,3,4,5}

E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}

则有：

LCA(T,5,2)=1

LCA(T,3,4)=3

LCA(T,4,5)=3

算法

离线算法 Tarjan

利用并查集优越的时空复杂度，我们可以实现LCA问题的O(n+Q)算法，这里Q表示询问的次数。

Tarjan算法基于深度优先搜索的框架，对于新搜索到的一个结点，首先创建由这个结点构成的集合，再对当前结点的每一个子树进行搜索，每搜索完一棵子树，则可确定子树内的LCA询问都已解决。其他的LCA询问的结果必然在这个子树之外，这时把子树所形成的集合与当前结点的集合合并，并将当前结点设为这个集合的祖先。

之后继续搜索下一棵子树，直到当前结点的所有子树搜索完。这时把当前结点也设为已被检查过的，同时可以处理有关当前结点的LCA询问，如果有一个从当前结点到结点v的询问，且v已被检查过，则由于进行的是深度优先搜索，当前结点与v的最近公共祖先一定还没有被检查，而这个最近公共祖先的包涵v的子树一定已经搜索过了，那么这个最近公共祖先一定是v 所在集合的祖先。

下面给出这个算法的伪代码描述：

由于是基于深度优先搜索的算法，只要调用LCA(root[T])就可以回答所有的提问了，这里root[T]表示树T的根，假设所有询问(u,v)构成集合P。

在线算法倍增法

每次询问O(logN)

d[i] 表示 i节点的深度， p[i,,j] 表示 i 的 2^j 倍祖先

那么就有一个递推式子 p[i,,j]=p[p[i,,j-1],,j-1]

这样子一个O(NlogN)的预处理求出每个节点的 2^k 的祖先

然后对于每一个询问的点对(a, b)的最近公共祖先就是：

先判断是否 d[a] ＞ d[b] ,如果是的话就交换一下(保证 a 的深度小于 b 方便下面的操作)，然后把b 调到与a 同深度, 同深度以后再把a, b 同时往上调(dec(j)) 调到有一个最小的j 满足p[a,,j]!=p[b,,j] (a b 是在不断更新的), 最后再把 a, b 往上调 (a=p[a,0], b=p[b,0]) 一个一个向上调直到a = b, 这时 a or b 就是他们的最近公共祖先。

算法实例

问题描述：

设计一个算法，对于给定的树中结点返回它们的最近公共祖先。

编程任务：

对于给定的树和树中结点对，计算结点对的最近公共祖先。

数据输入：

由文件input.txt给出输入数据。

第一行有1个正整数n，表示给定的树有n个顶点，编0号为1，2，…，n。编号为1 的顶点是树根。接下来的n 行中，第i+1 行描述与i 个顶点相关联的子结点的信息。每行的第一个正整数k表示该顶点的儿子结点数。其后k个数中，每1 个数表示1 个儿子结点的编号。当k=0 时表示相应的结点是叶结点。文件的第n+2 行是1 个正整数m，表示要计算最近公共祖先的m个结点对。接下来的m行，每行2 个正整数，是要计算最近公共祖先的结点编号。

结果输出:

将编程计算出的m个结点对的最近公共祖先结点编号输出到文件output.txt。每行3 个

正整数，前2 个是结点对编号，第3 个是它们的最近公共祖先结点编号。

输入文件示例(input.txt)

3 2 3 4

2 5 6

2 7 8

2 9 10

2 11 12

3 11

7 12

4 8