有理根定理

数学概念

有理根定理是一个关于任意整系数方程的有理根的定理。

简介

有理根定理是一个关于任意整系数方程的有理根的定理。

在代数中，有理根定理（或有理根测试，有理零定理，有理零测试或定理）表示对多项式方程的有理解与整数系数的约束。

这些解是方程左侧多项式的可能的根（相当于零）。

如果和不为零，那么当最低项（即p和q的最大公约数为1）写为的分数时，每个有理解x满足

p是常数项的整数因子，q是导数系数的整数因子。

有理根定理是高斯引理对多项式因式分解的特殊情况（单线性因子）。如果导数系数，则整数根定理是有理根定理的特殊情况。

应用

为了确定一个多项式是否有任何有理根，使用该定理，如果是这样就可以找出它们。由于定理给出了完全减少的有理根的分子和分母作为某些数的除数的约束，所以可以检查除数的所有可能的组合，或者找出有理的根，或者确定没有一个。如果找到一个或多个，则可以将它们从多项式中分解出来，导致较低程度的多项式，其根也是原始多项式的根。

立方公式

一般三次方程：

整数系数在复平面中具有三个解。如果通过有理根定理发现没有有理的解，则代数方法表达解的唯一方法是使用立方根。但是如果测试找到三个有理的解，那么可以避免立方根。并且如果发现存在一个有理的解r，则可以使用多项式长分割从三次多项式中求出，得到二次多项式，其中两根是立方的剩余两根；并且这些可以使用二次公式找到，再次避免使用立方根。

证明

对于一些a0，...，an∈Z，令

并且假设对于一些互质p、q，，q∈Z则

如果我们两边都乘以，将常数项转换到右边，并将左侧的p代入，得到

我们看到p乘以圆括号中的整数等于，所以p能被整除。

如果我们把它转移到右边，并把左边的q值换算出来，我们就得到了，

这里p与q互质,因此,p与q^n也是互质的。因此,p一定是a_0的因子。反之,q是a_n的因子。使用高斯引理证明：

如果存在分解多项式的所有系数的非平凡因子，则可以除以系数的最大公因数，以便获得高斯引理意义上的本原多项式; 这不会改变一套有理根源，只能加强可分割条件。这个引理说，如果中的多项式因子，那么它也将作为原始多项式的乘积。现在任何有理的根对应于多项式的中的1的因子，并且其原始代表是，假设p和q是互质的。但是，的中的任何多项式都可以被q整除，并且可以被p整除的常数项可以被引导。这个论点表明，更普遍地说，P的任何不可约因子都可以被认为具有整数系数，并且前导和常数系数除以P的相应系数。

举例

第一个

在多项式中

任何有理根完全减少将必须有一个分子均匀分为1和一个分母均匀分为2因此唯一可能的有理根是±1/2和±1; 由于这些都不等于多项式为零，所以没有有理的根。

第二个

在多项式中

唯一可能的有理根将有分子6和分母1的分母，将可能性限制在±1，±2，±3和±6。其中，1，2和-3将多项式等效为零，因此是其有理根。

第三个

下式多项式的根

一定在符号下面表示的数字之中，

其中列出了8个可能的答案：

这些根可以使用霍纳的方法进行测试。在这种特殊情况下，只有一个有理根。如果根候选不使多项式等于零，则可用于缩短剩余候选列表。例如，不起作用，因为多项式然后等于1。这意味着用代入中的常数项1，而系数保持与的系数相同的多项式。因此，应用有理根定理可以产生以下可能的根t：