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有限基本解法

有限基本解法

有限基本解法 （method of finite fundamental solutions）解线性势流动的一种数值计算方法，它用一些形式比较简单、而在流动区域内又满足方程的解析函数（如位势流的源、汇、偶极子以及涡旋等）作为基本解，再将它们线性叠加，以满足任意外形物体的边界条件，从而模拟出各种具体流动的速度场。

概述
有限基本解法 （method of finite fundamental solutions）解线性势流动的一种数值计算方法，它用一些形式比较简单、而在流动区域内又满足方程的解析函数（如位势流的源、汇、偶极子以及涡旋等）作为基本解，再将它们线性叠加，以满足任意外形物体的边界条件，从而模拟出各种具体流动的速度场。
以位势流动为例，格林定理和斯托克斯定理指出：扰动速度（P为流动场中的任一点）可用流场边界上源、汇或偶极子的分布来表示，而扰动速度场则线性依赖于流场边界的源、汇或偶极子的分布密度。因此扰动速度可以用物体表面的源、汇分布密度求得。在一般情况下，可将物体表面分成许多连接的单元，如果单元尺度比流场特征尺度小，可以假定单元上的源、汇或偶极子的密度分布是均匀的。这时空间任意一点P上的扰动速度可写成：
式中为第j个单元上分布密度为1的源、汇或偶极子在P点所诱导的速度；为该单元的分布密度。如果物面上的单元总数为N，则上式中只有N个待定系数，这些系数可以利用物面上N个点处的边界条件来确定，这N个条件可写成：
式中
是物理面上点处单位法向矢量，它指向流场内部；qi为控制点。从上述方程组中解出后，即可算得扰动速度场。
用源、汇或偶极子来求解十分方便，但这类基本解都有奇点，这些奇点可以是孤立的，也可以是分布在某些曲面或曲线上的。在这些地方必须作一些特殊处理。
计算的准确性
在实际计算时，单元的分法，单元上的密度分布形式和控制点的位置，都会直接影响到计算的准确性。如果控制点选得不当，会得到不准确甚至是荒谬的结果。目前还没有确定控制点正确位置的严格理论。计算表明，对等密度分布的单元来说，把控制点选在单元形心或单元自身诱导速度量小点处，可得到比较满意的结果。在单元上，如采用多参数的密度分布形式，则用较少的单元块数也可以得到同样精度的结果。
应用
有限基本解法多用于位势绕流问题，在工程上已能成功地计算或校核复杂形状物体上的气动载荷，甚至可直接用来设计飞行器等的外形。这一方法近来已进一步用于研究可压缩情况下的有限扰动问题。此外，在水工结构的载荷和油田开采等计算中也有应用。
参考书目
J. L. Hess，Computer Method，Applied Mechanics and Engineering，p. 145，March 1975.
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