有限生成群

除有限群外最熟悉的满足有限性条件的群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。无限群论是群论的一个独立分支.主要研究无限群(元素个数无限的群)的理论。19世纪末，由于几何和拓扑研究的需要，无限群作为由一系列生成元及定义关系所定义的群出现。

概念

有限生成群(finitely generated group)是无限群论研究的重要对象之一。指除有限群外最熟悉的满足有限性条件的群。已知存在种非同构的有限生成群，甚至有种非同构的有限生成的可解群；并且每一可数群可以嵌入一个2生成元群，所以即使是2生成元群都可能有非常复杂的结构。这说明群的有限生成性是一种非常弱的有限性条件。若群G有一个呈示，其生成元集和定义关系集都是有限的，则称G是有限呈示群。已经证明，只存在可数多种非同构的有限呈示群。可解的有限呈示群是无限群研究的重要对象。

群

群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。

设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：

(1)封闭性，a·b∈G;

(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。

满足交换律的群，称为交换群。

群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。

1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。

有限群

有限群是循环群的任一直积是有限交换群。反之，任一有限交换群必具有这种形式。特别，其阶为素数的所有有限群皆是循环群。

任一有限群(不一定是交换的)同构于一有限集的置换群的一个子群。人们还没有弄清楚有限群的分类。

非交换的有限群之研究基本上停留在p-群的概念上. 这是指其阶为一个素数p的幂的有限群.有限群G的所有最大p-子群叫做G的西罗子群;G的所有西罗p-子群都是共轭的，而它们的公共阶是能整除G的阶的p之最大幂.

具有有限多个元素的群，是群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。有限群可分为两大类：可解群与非可解群(即单群)。

有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。如何确定可解群和单群是抽象群理论建立后的一个重要发展方向。德国数学家赫尔德在1889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(n≥5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有限的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当—赫尔德合成群列和若尔当—赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于pq(p、q是素数)必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(见伯恩塞德猜想)：奇数阶群一定是可解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约40年的共同努力，终于在1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。

无限群论

群论的一个独立分支.主要研究无限群(元素个数无限的群)的理论。19世纪末，由于几何和拓扑研究的需要，无限群作为由一系列生成元及定义关系所定义的群出现。克莱因(Klein，C.F.)、李(Lie，M.S.)等对无限群的产生有很大的影响.20世纪20年代和30年代，贝尔(Baer，R.)、施米特(Щмирт，О.Ю.)和库洛什(Курош，А.Г.)等对无限群的发展起了重要作用.不假定群阶有限性而叙述群论基础的第一本书是1916年出版的施米特的《抽象群论》.由于各国群论工作者，特别是德国、英国和苏联的群论专家的努力，使无限群论日趋完善，到20世纪40年代已经形成独立的理论体系，成为群论的一个新分支，其中最精彩的理论是霍尔(Hall，P)和马尔采夫(Малцев，А.И.)关于无限可解群的工作.1940年出版的库洛什的名著《群论》对无限群论的发展起了重要作用，特别是1955年出版的这本书第二版的英译本。鲁宾孙(Robinson，D.J.S.)于1972年出版的《有限性条件和广义可解群》是继库洛什的《群论》之后最重要的无限群著作之一。

无限群论的大量工作是将有限群的许多好的结果推广到无限群中去。这样，一方面就导致比群阶的有限性弱的一些有限性条件；另一方面引入了一些在有限群中是等价的但在无限群中却不同的性质，由此产生了许多种类的广义可解群和广义幂零群。正如库洛什指出“……一个新的群论分支……它的任务是在某种意义上接近群阶的有限性的条件限制下，研究在某种意义上接近阿贝尔群的群”。所以，无限群论的主要研究对象是广义幂零群、广义可解群和满足所谓有限性条件的群。无限群论仍然是一个比较活跃的数学分支。

可解群

可解群是一种重要的群类。即可由交换群经有限步叠加而得的群。若群G有一个有限长的正规群列G≥G1≥G2≥…≥Gn=1，使得每个商因子都是交换群，则称G是一个可解群，或称G是可解的。可解群的概念源自伽罗瓦(Galois，E.)对解代数方程的研究，他发现由一个代数方程的所有解可产生一个置换群(也就是扩域的自同构群，称之为一个伽罗瓦群)，这个代数方程能用根式解出当且仅当该群具有正规列。可解群的名称由此而来。霍尔(Hall，P.)于20世纪30—40年代对有限可解群理论做了奠基性贡献。费特-汤普森奇阶定理成为另一个里程碑.近几十年，有限可解群研究仍属活跃领域。例如群系等群类理论就始于有限可解群研究并以可解群为重点。对无限可解群的研究也有了长足的进步。尽管有限可解群的研究方法与成果不能完全推到无限可解群，但带交换商因子的正规列这一定义条件使很多思想与工具，如模论、表示论等，均可发挥出色的作用。

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