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极小曲面方程

数学术语

极小曲面方程(minimal surface equation)是在固定边界上的具有最小面积的曲面所满足的方程。设Rn+1中的曲面方程为xn+1=u(x)(x∈Ω)，则面积积分S=∫Ω√(1+|Du|2)dx的欧拉-拉格朗日方程Mu=(1/n)Di((Diu)/(1+|Du|2))1/2=0即是极小曲面方程。这是一个熟知的拟线性椭圆型方程，它是更一般的指定平均曲率方程的特例。若Ω是Rn中的有界C2区域，则狄利克雷问题Mu=0(在Ω内)，u=φ(在∂ Ω上)对任意φ∈C0(∂ Ω)有解的充分必要条件是边界∂ Ω的平均曲率处处非负。

定义
表述1 极小曲面方程(minimal surface equation)是偏微分方程和微分几何中的一个非常重要的方程，它是极小曲面所满足的微分方程。设{，D为中的一区域}为中的一极小曲面，由于的平均曲率为零，所以有
此方程称为极小曲面方程。
表述2 设中的曲面方程为，则面积积分
的欧拉-拉格朗日方程
即是极小曲面方程。这是一个熟知的拟线性椭圆型方程，它是更一般的指定平均曲率方程的特例。若Ω是中的有界区域，则狄利克雷问题(在Ω内)，(在∂ Ω上)对任意有解的充分必要条件是边界∂ Ω的平均曲率处处非负。
相关分析
（接表述1）一般地，设为一极小浸入，局部地由所给出。换言之，相对于M中的坐标系及中的坐标系，若
及
局部地为及上的度量，则
因为M是极小的，所以对M中每一幺正基，有
或等价地
其中为M的第二基本形式。将上式详细写出来，得
其中
分别为M及的联络系数，这是一个拟线性的椭圆型方程组。若是黎曼流形间的一个极小浸入，则函数必适合上述方程组。
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