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根式判别法

数学术语

根值判别法，又称柯西判别法，是判断正项级数收敛性的一种重要方法。正项级数收敛性判别法主要有根式判别法、比式判别法、阿贝尔判别法、积分判别法和对数判别法等。

级数收敛的定义
设有数列 ，此数列的项依次用加号连接起来，即 ，或 ，称为数值级数，其中 称为级数的第 项或通项，取级数前 项的和为 ，称为级数的 项部分和。若级数的部分和数列 收敛，称此级数收敛，否则，称该级数发散。
根式判别法
定理 (根式判别法)
有正项级数 ，存在常数 及 ，
1）若对一切 ，成立不等式
则级数 收敛。
2）若对一切 ，成立不等式
则级数 发散。
证明：由1）中条件有
因为上式右边等比级数当 时收敛，故由比较原则，这时有级数 也收敛。对于情形 2），由条件可以推出
这显然是不可能的，由级数收敛的必要条件可知，级数是发散的。证毕。
推论1（根式判别法的极限形式）
设有正项级数 ，且
则
1）当 时，级数 收敛。
2）当 时，级数 发散。
推论2
设有正项级数 ，且
则
1）当 时，级数 收敛。
2）当 时，级数 发散。
根式判别法的局限性
根式判别法本质上还是比较判别法，是将级数和几何级数 比较得到的，是在正项级数敛散性判别中是一个十分重要的方法，不少级数均可依此法判别其敛散性。
从理论上来说，凡是能用比式判别法判断其敛散性的级数，必定也能用根式判别法来判断其敛散性，但反之不成立。这说明根式判别法较比较判别法有更大的适用性，但是，根式判别法也有其失效性。在根式判别法只讨论了 的情况,并没有考虑 的情况,也没有考虑 不存在又是怎样的情况。例如 都有
但前者收敛，后者发散。这说明这种判别法存在着一定的不足。
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