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格

数学概念

“格”是一种特殊的偏序集。在许多数学对象中，所考虑的元素之间具有某种顺序。

简介
例如，一组实数间的大小顺序；一个集合的诸子集（或某些子集）间按（被包含）所成的顺序 ；一组命题间按蕴涵所成的顺序；等等。这种顺序一般不是全序，即不是任意二元素间都能排列顺序，而是在部分元素间的一种顺序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究顺序的性质及作用而产生的概念和理论。
格论在代数学、射影几何学、集合论、数理逻辑、泛函分析以及概率论等许多数学分支中都有应用。例如，在代数学中，对于一个群G与其子群格（G）之间关 系的研究。在数理逻辑中，关于不可解度的研究。
定义
设是偏序集，若S中任意两个元素都存在上确界以及下确界，则称是格（lattice），为了方便，这样的格称为偏序格。
代数格
在S定义二元运算*和·，满足：对,S有
(1) 交换律 a*b=b*a，a·b=b·a
(2) 结合律 (a*b)*c=a*(b*c) , (a·b)·c=a·(b·c)
(3) 吸收律 a*(a·b)=a， a·(a*b)=a
则称(S，*，·)是代数格.
用代数的语言，格就是在非空集合上定义了两个满足结合律、交换律和吸收律的运算。
对偶
对偶式
由1，0，和可以代表格中的任意元素的变量通过+，×运算联结起来的式子，就是格中的表达式，记作f。将f中的0换成1，1换成0，+换成×，×换成+所得的表达式，就是表达式f的对偶式记作f‘。
对偶原理
若f为真，则f的对偶式为真。
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