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正多面体

各个面都是全等的正多边形

正多面体，是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角。其中面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体。有些化学物质的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面体。

简介
仅有的五种正多面体，即是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
所谓正多面体，当然要首先保证它是一个多面体，而它的特殊之处就在于它的每一个面都是正多边形，而且各个面的正多边形都是全等的。也就是说，将正多面体的各个面剪下来，它们可以完全重合。虽然多面体的家族很庞大．可是正多面体的成员却很少，仅有五个。
这几个正多面体分别是由什么组成的呢?
正四面体是由四个全等的等边三角形组成的；正六面体是由六个全等的正方形组成的；正八面体是由八个全等的等边三角形组成的；正十二面体是由十二个全等的正五边形组成的；正二十面体是由二十个全等的等边三角形组成的。
正多面体的各种参数如下表所示。
种类
只有五种多面体是正多面体。
证明如下：设正多面体每个顶点有m条棱，每个面都是正n边形，多面体的顶点数是V，面数是F，棱数是E。因为两个相邻面有一公共棱，所以
因为两个相邻顶点有一公共棱，所以
又因多面体的Euler定理，得V+F-E=2，从上面三式可得
要使得上面的式子成立，必须满足2m+2n-mn>0，即1/m+1/n>1/2。因为m≥3，所以
于是n<6。
当n=3时，m<6，所以m能取的值是3、4、5；
当n=4时，m<4，所以m能取的值是3；
当n=5时，m<10/3，所以m能取的值是3。
当n=3，m=3时，V=4，F=4，E=6；当n=3，m=4时，V=6，F=8，E=12；当n=3，m=5时，V=12，F=20，E=30；当n=4，m=3时，V=8，F=6，E=12；当n=5，m=3时，V=20，F=12，E=30；所以正多面体只有上述五种。
性质
由正多面体可得到如下几何性质：
1.如果两个正多面体是同类型的正多面体，那么这两个正多面体的二面角都相。
2.正多面体的外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合。
3.正多面体的外心、内心、内棱心重合的点称为该正多面体的中心。
4.正多面体除正四面体外过任顶点和正多面体中心的直线必然经过正多面体的另一顶点，并且这两个顶点到正多面体中心的距离都相等。
5.除正四面体外，连线经过正多面体的中心的两点称为相对顶点，连两双相对顶点的两条棱称为正多面体的对棱，由对棱围成的两个面称为正多面体的对面。
6.除正四面体外，正多面体的对棱、对面都平行。
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