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殆周期函数

数理科学

设ø：ℝ× X →X是一个拓扑动力系统，其中 X 是一个完备度量空间，其上的距离函数记为d(·,·)。给定x∈X，如果对任意的∈>0集合{t∈ℝ|对所有的s∈ℝ，都成立d(ø(s+t,x)，ø(s,x)) < ∈}在ℝ上都是相对稠密的，也就是说存在l= l(∈) > 0,使得ℝ上任意长度超过l的区间中都含有上述集合中的点，则称点x是殆周期点(almost periodic point )，或称ø(t,x)是一个殆周期运动。这种定义下的殆周期运动是一种回复性很强的运动，它等价于函数t→ø(t,x) 是R一X的一个殆周期函数(almost periodic point)。

定义
设ø：ℝ× X →X是一个拓扑动力系统，其中 X 是一个完备度量空间，其上的距离函数记为d(·,·)。给定x∈X，如果对任意的∈>0集合{t∈ℝ|对所有的s∈ℝ，都成立d(ø(s+t,x)，ø(s,x)) < ∈}在ℝ上都是相对稠密的，也就是说存在l= l(∈) > 0,使得ℝ上任意长度超过l的区间中都含有上述集合中的点，则称点x是殆周期点(almost periodic point)，或称ø(t,x)是一个殆周期运动。这种定义下的殆周期运动是一种回复性很强的运动，它等价于函数t→ø(t,x) 是R一X的一个殆周期函数(almost periodic point)。
由于定性理论通常是研究欧几里得空间中的向量场，为了包含这类动力系统在这个定义中空间X通常不要求是紧致的。即使向量场不能生成上述意义下的动力系统(例如，可能有些解曲线并不是对所有的时刻t都有定义),只要过x的解曲线对所有的时刻t都有定义，术语也可以定义。
动力系统
回复运动
[recurrent motion]：定性理论中一个名词。
设ø是完备度量空间(X,d)上的一个拓扑动力系统。给定x∈X,如果对任意的∈>0,集合{t∈ℝ|d(ø(t,x),x)<∊}在R上都是相对稠密的，则称ø(t,x)是一个回复运动，或称点x是回复点(reccurrent point)。
如果x是回复的，则轨道Orb(x)的闭包是紧的，而且是一个极小集。
应该强调的是，这里所说的回复点与[抽象]动力系统中的“回复点”不同。这里的回复点在[抽象]动力系统中被称为几乎周期点(almost periodic point)或极小点(minimum point)。
泊松运动
[Poisson motion]：定性理论中的一个名词。
设Ø是完备度量空间（X,d）上的一个拓扑动力系统。给定x∈X，如果x∈ω（x）∩ α（x），即存在两个序列以及使得Ø，Ø，则称Ø（t，x）是一个泊松运动或称Ø（t，x）具有泊松稳定性（Poisson stability）。
应该强调的是，这里所说的泊松稳定点在[抽象]动力系统中被称为回复点。
具体说来，在[抽象]动力系统中，满足x∈ω（x）的点x称为正向回复点，满足x∈α（x）的点x称为负向回复点，而回复点则指的是正向回复点或负向回复点。而泊松稳定则指的是既正向回复又负向回复。
拉格朗日运动
[Lagrange motion]：设Ø是完备度量空间（X,d）上的一个拓扑动力系统，Ø（t，r）称为一个拉格朗日运动或具有拉格朗日稳定性（Lagrange stability），如果轨道Orb（x）的闭包是紧致的。
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