法截面

微分几何的概念

法截面是微分几何的一个概念。曲面上一点，选定过该点的一个切向量，由该切向量和过该点的法向量所张成的平面，被称为该切向量所决定的法截面。

概念

法截面亦称法平面。包含曲面一点法线的所有平面。在大地测量学中常指包含地球椭球面一点法线的平面。过曲面上一点的法截面有无限多个。其中有两个相互垂直且曲率半径为极大和极小的法截面称为主法截面。在地球椭球上，方位角为0°（180°）的主法截面称为子午面；方位角为90°（270°）的主法截面称为卯酉面。法截线：法截面与曲面的截线。过曲面上一点的法截线有无限多条，其中两个相互正交的主法截面与曲面的截线称为“主法截线”。地球椭球面上，方位角等于0°（180°）的法截线称为子午圈；方位角为90°（270°）的称卯酉圈。过一点的所有法截线，其形状都以过该点的子午圈和卯酉圈为对称。

异形螺杆端截面与法截面关系研究

研究背景

螺杆泵转子的加工国内主要采用成形法与无瞬心包络铣削方法。使用成形法，用户需要法面数据制作成型铣刀，成型铣刀沿螺旋线方向多次铣削形成多头螺杆;使用无瞬心包络铣削方法，用户使用螺杆端面数据即可加工螺杆，同时用户也可以使用成形铣刀检测加工螺杆的形状。无论使用哪一种加工方法，螺杆端面数据或法面数据是诸多生产厂家必需的前提数据，对端面数据与法面数据的研究在许多厂家来说是一个较复杂、困难的课题，一些厂家可能仅有端截面或法截面一种数据，所以实现这两种数据的互相转换对许多螺杆生产厂家来说是迫在眉睫的关键技术问题。

数学模型的建立

螺旋曲面的形成一般是在设螺杆的端面截形曲线为Γ(又称为母线)时，让该母线Γ绕以工件轴心Z轴为轴心线作螺旋运动所形成的曲面S。在工件坐标系中左旋螺旋曲面方程为：

其中：t—参变量；τ—角度变量，表示母线Γ从起始位置绕Z轴转过的角度，逆时针为正；p—螺旋参数，p=±h/2π，右旋螺旋面取“+”，左旋螺旋面取“-”。h为螺旋面导程，为已知参数(下面均以左旋为例)。图1所示为5头螺杆端面曲线形状及螺杆。

如图2所示，假设T、n分别是平面曲线c上M点的切线与法线，α为螺旋升角。为求得以参数方程式表达的曲面S上任意一点M的法线矢量n，可在曲面S上作一系列坐标曲线如图3所示。现固定一个参数，例如令t=常数，得到曲面S上的一组空间曲线，称为τ曲线。显然，在τ曲线上，t=常数，只有参数τ变化；同样可得与τ曲线相交的t曲线，t曲线上，τ=常数，只有参数t变化。这两段曲线交织成曲面S。

研究结论

研究给出了螺旋曲面法截面与端截面相互转换公式，通过在计算机上编程实践并通过对实际数据进行检验，证明该转换公式是正确的，已经在生产实践中得到应用。

针对角钢桁架的满利用率齿行法截面优化

研究背景

对于桁架结构的优化，截面级的优化问题向来是遏制更高层次诸如形状、拓扑优化的瓶颈，在文献中研究者曾试图用删除大量不可行组合搜索的方式寻求最优组合解，但在具体实施时，研究者还是放弃了全局组合方式。而同样基于静定化假设的思想，在迭代后的小片区域里进行组合搜索，这与经典满应力设计方法在本质上是相似的。因此，在现阶段，进一步研究满应力思想是进行截面优化的必循之路。

相比于满应力设计，满利用率设计方法是一种以结构体系中每一杆件至少在一种工况下有一项或多项设计指标达到利用率最大为准则的优化设计方法。传统的满应力设计往往是针对连续截面变量而言的，以往的文献也有将满应力设计应用到设计变量为钢管截面的桁架体系中。文献提出的方法虽然可以达到满应力优化的目的，但是效率比较低，而且仅仅照顾到应力约束，对于工程上应注意的长细比约束并未考虑。研究旨在提出一种比满应力方法适应面更广的满利用率设计方法，借用成员设计变量的概念，同时针对非全截面对称的角钢桁架，综合考虑应力及长细比约束，并采用齿行方式将设计值进行修正，将优化结果逼近到真实的优化解上。

算法思想

简单的桁架结构体系的优化计算数学模型可以定义如下。

P1：求I=[I1，I2，I3，…，In]T；

s.t. σi≤[σi+]，σi≥[σi-]λi≤[λi]，i = 1 , 2 , 3 , …, n

式中：I是设计变量截面对应于材料表中杆件截面的序号；ρi为材料密度；Ai为杆件截面积；li为杆件长度；σi与λi分别表示杆件应力和长细比；材料表S={s1，s2，s3，…，sm}；n为设计变量总数；m为离散截面型号总数。

角钢材料表S中的一种截面型号包含了诸如肢宽b、肢厚t、面积A、最小轴回转半径ix、平行轴回转半径iy等多个信息，对于不同的约束条件所要用到的截面信息也不同。为了表示方便，这里引入C++语言中类的成员变量的表示方法，分别以Sb、St、SA、Six、Siy表示某种型号角钢的肢宽、肢厚、面积、最小轴回转半径及平行轴回转半径。这种表示方法可以很清楚地区分开同种截面型号中不同的信息类型，便于程序化操作。

含应力约束的截面优化问题的大基础还是不能抛弃静定化假设的，否则采用全搜索法将会带来令人难以忍受的时间耗用。满利用率设计中的满应力设计也是基于这个假设，也就是假定桁架内力重分析前后杆件刚度对各部分力的分配影响不大，从而对超静定结构近似求取最优解。

对于静定结构，由于约束条件是线性的，单根杆件的内力与其他杆件无关，利用迭代因子一次就可以达到优化目的。对于超静定结构，由于静定假设是对于一次迭代前后而言的，实际计算中迭代次数会因为约束条件的非线性而增多。如果结构的整体刚度矩阵为正常型(矩阵条件数很小)，则杆件内力的相互影响较小，迭代很快且能够收敛到优化解上，迭代次数和结果不随初始截面变化而变化；若结构的整体刚度矩阵为敏感型(矩阵条件数较大)，

则杆件刚度变化将导致迭代不容易收敛，这时候可以通过改变初始截面值的方法进行调整，但不同的初始截面可能会导致不同的迭代结果。因此，对于应力约束为最严约束的优化问题，结构的整体刚度矩阵为正常型是迭代能够收敛的必要条件。工程实践表明，绝大多数情况下输电塔、空间桁架屋盖等大型结构体系是属于正常型的。类比文献，可以提出满利用率法的准则是各杆的迭代因子K=1。这里综合考虑了应力与长细比的双重约束。另外，如果仅仅采用简单的迭代方法，则设计变量只会在可行集与非可行集之间来回搜索，最后在某些约束条件的交点上得到最优解。但优化设计的最优解往往不是位于某些约束条件的交点上，而是位于某一个约束曲线上。为了保证得到最优解，采用齿行路线法往往可以得到很好的效果。

齿行法与简单迭代法的区别在于设计变量迭代到偶数步时，是从奇数步中得到各杆的Ki中选出最大的Kmax作为各杆新截面的变更依据，严格意义上已不属于满应力设计的范畴，而是把每一步满应力设计迭代公式作为更改设计减少重量的手段。这样一来，对于在奇数步处于非可行集的有最严约束的杆件，在偶数步必定会回到约束曲面上来，而其他杆件则必定会退回可行集内。重复迭代以后，可以保证每次设计结果都会落在某个最严的约束曲面上，最终收敛到最优解而不再变化，从而达到优化设计的目的。

传统意义上的满应力法是针对连续设计变量而言的，文献在离散设计变量的基础上提出了拟满应力设计的方法，这种方法简单说来，是在每次应力重分析后，考察每根杆件的应力比程度，通过循环递增或递减杆件序号依次进行杆件截面验算，选出满足约束条件且应力比最大的杆件，从而达到物尽其用的目的。然而此种方法在杆件截面型号非常多的情况下势必造成效率较低(组合角钢材料库截面类型可以高达100种以上)。借用应力比法思想，满利用率设计可以将设计变量值快速锁定在该迭代步最优离散截面值附近，此时比该计算值大的相应离散值所对应的材料型号就是该轮迭代的最优解。相比文献的方法，将约束条件蕴含在迭代因子里，省去每次迭代后各根杆件需要通过验算递增的繁琐过程，大幅度提高了优化效率。

研究结论

根据上述算例可以看出，通过本文的优化思路可以达到优化目的，对满利用率齿行法进行离散变量的截面优化总结如下。

(1)对于超静定桁架组合变量的优化问题，可以采用全材料库搜索的方法得到最优解，但是相应牺牲的是时间(文献曾经做过一个有趣的计算，假设截面库只有3种材料，一共有60根杆件，单工况下，假设进行一次内力重分析需要1 μs，则完成一次全搜索的计算时间会长达1.3×1013个世纪)。如果采用满利用率齿行法，在设计值收敛的情况下，假设迭代1000次得到最优解，就算每根杆件每次循环比较时间与全部杆件内力重分析时间相同，总时间也不过61×1000=6.1×104(μs)=0.061 s，加上读写文件时间最多不超过1 s，优化效率显而易见。在多工况下，这种时间优势将更加明显。

(2)离散截面优化设计的难点在于设计变量的离散性及大量的时间耗用，在优化过程中采用迭代因子可以有效地解决这2个问题。寻找优化迭代因子的关键是找到内力重分析前后的相关不变量，对于截面积为杆件内力，对于长细比为杆件长度。而对应力约束为最严约束的情况，超静定假设对优化结果造成的约束一般是不能消除的，采用齿行法在一定程度上可以减小此种影响。

(3)满利用率的基本思想是充分利用杆件的潜能，这对于杆件是多方面的，对于应力是面积潜能，对于长细比是回转半径，对于局部稳定是宽厚比等。利用C++中类的思想可以将这些不同的信息区分开，也有利于将优化设计程序化。

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