波德图

半对数坐标图

波德图（英语：Bode plot，“Bode”的英文发音类似Boh-dee，荷兰文的发音则类似Bow-dah），又名伯德图、波特图，是线性非时变系统的传递函数对频率的半对数坐标图，其横轴频率以对数尺度表示，利用波德图可以看出系统的频率响应。波德图一般是由二张图组合而成，一张幅频图表示频率响应增益的分贝值对频率的变化，另一张相频图则是频率响应的相位对频率的变化。

简介

波德图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波德在1930年发明。波德用简单但准确的方法绘制增益及相位的图，因此他发明的图也就称为波德图。

波德图幅频图的频率用对数尺度表示，增益部分一般都用功率的分贝值来表示，也就是将增益取对数后再乘以20。由于增益用对数来表示，因此一传递函数乘以一常数，在波德增益图只需将图形的纵向移动即可，二传递函数的相乘，在波德幅频图就变成图形的相加。幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区，反之属不稳定区：

波德图相频图的频率也用对数尺度表示，而相位部分的单位一般会使用度。配合波德相频图可以估算一信号进入系统后，输出信号及原始信号的比例关系及相位。例如一个Asin(ωt) 的信号进入系统后振幅变原来的k倍，相位落后原信号Φ，则其输出信号则为(Ak)sin(ωt+Φ)，其中的k和Φ都是频率的函数。相频图纵轴-180度以上具有正相位裕度、属稳定区，反之属不稳定区

若将系统的增益以复数表示，则复数增益取对数后的虚部即为相位，因此二传递函数的相乘，在波德相位图上也是图形的相加。

波德图的增益和相位很难单独的变动、二者会互相牵扯，当调整系统的增益响应时，系统的相位响应也会随之变化，反之亦然。最小相位系统的增益和相位特性之间可以用希尔伯特转换来转换，因此知道其中一项即可求出另外一项。

若转换函数是有理函数，其零点及极点均为实数，则其波德图可以用几条渐近线的直线来近似，利用简单的规则即可以徒手绘制。若近似的波德图再修正每个截止频率时的增益值，则其近似值会更接近实际值。

波德图手绘的规则

波德图的前提就是可以处理以下型式函数的对数值：

上述函数的对数值可以转换为极点及零点对数的和：

在绘制波德相位图时直接使用了上述的概念。增益图的绘制时则是以此概念为基础，因为每个极点或零点其增益的对数均从0开始，而且其渐近线只有一个转折点，因此绘制时可以再作简化。

直线近似的增益图

波德图增益分贝值一般都利用 20log10(X)的公式。考虑以下的转换函数：

其中及是常数，s=jΩ,an,bn>0，而H是转换函数。

波德图（Bode）是振动的幅值（尤指工频分量或二阶分量）和相位随转速而变化的图。与频响函数的幅、相频特性曲线类似。从波德图上可以清楚的看出转子过临界转速的振动状况。

波德图（bode）是反映机器振动幅值、相位随转速变化的关系曲线。图形的横坐标是转速，纵坐标有两个，一个是振幅的峰－峰值，另一个是相位。从波德图上我们可以得到以下信息：

a. 转子系统在各种转速下的振幅和相位；

b. 转子系统的临界转速；

c. 转子系统的共振放大系数(Q=Amax/ε)；一般小型机组Q在3～5甚

至更小，而大型机组在5～7；超过上述数值，很可能是不安全的；

d. 转子的振型；

e. 系统的阻尼大小；

f. 转子上机械偏差和电气偏差的大小；

g. 转子是否发生了热弯曲。

稳定性

一般是指作用在系统上的扰动排除后，系统能否恢复原状、或以怎样的精度恢复原状的性能。它是控制理论的一个极其重要的问题。在经典控制理论中，一般涉及到的是定常的线性系统，有关这种系统的稳定性的判别方法主要有：罗斯—胡尔维茨准则、奈奎斯特判据、波德图、尼柯尔图和根轨迹法等。在现代控制理论中，对线性系统和非线性系统的稳定性的研究，主要是李雅普诺夫的稳定性理论。李雅普诺夫根据系统的输出 (响应) 是否有界来定义系统的稳定性，并区分了三种情况： (1) 稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应的幅值是有界的。(2) 渐近稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，如果其响应能够最终回到初始状态。(3)不稳定的，即对于系统初始值的一个扰动，其响应的幅值不是有界的。经典控制理论所研究的稳定性只限于第二种情况渐近稳定，而把另两种情况都看作是不稳定的。因而李雅普诺夫的稳定性概念更具一般性。李雅普诺夫用两种方法分析系统的稳定性，第一种方法是：用近似极数表示非线性函数，然后用近似方法求解非线性方程，最后根据解的性质，确定其系统的稳定性; 第二种方法是：不必求解方程，而用李雅普诺夫函数的纯量函数来判别系统是否稳定，并分析系统的响应。由于第二种方法具有不必求解方程的特点，因而也称直接法，而称第一种方法为间接法。由于许多非线性系统和时变系统的方程是难以求解的，又由于通过计算机可以找到所需的李雅普诺夫函数，还能找到系统的稳定区域，所以第二种方法在控制理论中得到广泛应用。稳定性对于社会经济系统极为重要，是经济学经常讨论的重要课题之一。探讨经济系统的稳定性，对于了解经济系统的动态发展规律、预测经济发展方向以及分析经济系统的结构等，都有着重要的现实意义。

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