海森堡模型

量子力学术语

海森堡模型（英语：Heisenberg model）是一个自旋系统的统计力学的模型，常被用来研究磁性系统和强关联电子系统中的相变与临界点的现象。

定义

在量子力学发展初期，海森堡首先提出自旋与自旋之间可能存在交互作用，其数学形式是两个自旋角动量的内积。海森堡模型的哈密顿算符是这些内积的总和。

其中自旋角动量的x、y、z三个分量之间的互易关系为，为普朗克常数除以，为了方便以下讨论假设。如果只考虑最近邻的自旋才存在交互作用，且交互作用的强度都均等，则哈密顿算符简化为

可定义上升算符和下降算符，

则哈密顿算符可写成

相较于易辛模型，海森堡模型除了考虑自旋z轴方向上的耦合以外，还考虑了x和y轴方向上的耦合，由于，这使研究海森堡模型必须考虑量子力学。

一维海森堡模型

考虑N个自旋排成一列，耦合强度，一维海森堡模型的哈密顿算符就写成

如果是自旋-1/2的一维海森堡模型，在热力学极限下，基态能量可利用贝特拟设方法求得。

Haldane猜想

自旋半奇整数（1/2、3/2/、5/2…）和整数（1、2、3、…）的一维海森堡模型有不同的性质。

奇数（symmetry protected topological）和偶数（trivial）。

二维海森堡模型

Kagome晶格中的自旋液体。

各向异性

在磁性材料中，磁矩（或自旋）之间的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，还可能出现一些各向异性（anisotropy）。当材料中有较强的自旋-轨道耦合时，常造成自旋想，想，x,y,z轴上的耦合强度不同，此时哈密顿算符改写为

被广泛研究的海森堡模型类型的模型是XXZ模型，也就是的情形，一维自旋-1/2的XXZ模型可利用贝特拟设严格求解。

当磁矩（或自旋）大于1/2，还可能出现另一种形式的各向异性，由晶格场造成的单轴各向异性，其数学形式为。因此在磁性材料中常被用来讨论的理论模型写成XXZ模型加上单轴各向异性，

其中参数和D 分别代表XXZ各向异性和单轴各向异性，当且D=0，模型回归到各向同性的海森堡模型。

相关条目

易辛模型，是一个以物理学家恩斯特·易辛为名的数学模型，用于描述物质的铁磁性。该模型中包含了可以用来描述单个原子磁矩的参数，其值只能为+1或-1，分别代表自旋向上或向下，这些磁矩通常会按照某种规则排列，形成晶格，并且在模型中会引入特定交互作用的参数，使得相邻的自旋互相影响。虽然该模型相对于物理现实是一个相当简化的模型，但它却和铁磁性物质一样会产生相变。事实上，一个二维的方晶格易辛模型是已知最简单而会产生相变的物理系统。

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