物不知数

中国古代算题

物不知数，中国古代著名算题。原载《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二。问物几何?”当时虽已有了答案23，但它的系统解法是秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的。大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题。

历史起源

这是依据《孙子算经》上有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”）编写而成的。原来的题目是：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

详细内容

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”

用通俗的话来说，题目的意思就是：

有一些物品，不知道有多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。这些物品的数量至少是多少个？

（注：诗题及题目原文都无“至少”二字，但“孙子问题”都是些求“最少”或者求“至少”的问题，否则就会有无数多个答案。所以，解释题目意思时，在语句中加上了“至少”二字。）

《孙子算经》解这道题目的“术文”和答案是：

“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十减之，即得。”“答曰：二十三。”

这些话是什么意思呢？用通俗的话来说，就是：

先求被3除余2，并能同时被5、7整除的数，这样的数最小是35；

再求被5除余3，并能同时被3、7整除的数，这样的数最小是63；

然后求被7除余2，并能同时被3、5整除的数，这样的数最小是30。

于是，由35+63+30=128，得到的128就是一个所要求得的数。但这个数并不是最小的。

再用求得的“128”减去或者加上3、5、7的最小公倍数“105”的倍数，就得到许许多多这样的数：

{23，128，233，338，443，…}

从而可知，23、128、233、338、443、…都是这一道题目的解，而其中最小的解是23。

答：这些物品的数目至少是23个。

需要指出的是，在《孙子算经》上，有一段关于这类题目的解题“术文”：

“凡三三数之剩一则置七十，五五数之剩一则置二十一，七七数之剩一则置十五，一百六以上以一百五减之，即得。”

（注：古称“106”和“105”为“一百六”和“一百五”，而称“160”和“150”为“一百六十”和“一百五十”。所以，这里的“一百六”和“一百五”分别指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

原理简介

明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，对于这种解一般“孙子问题”的方法，还编出了四句歌诀，名曰《孙子歌》：

三人同行七十稀，

五树梅花廿一枝；

七子团圆正半月，

除百零五便得知。

歌中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

这一歌诀的“诗意”，我们可以不去理会，只需注意它的数字就行了。歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

“三（3）人同行七十（70）稀”——是说除以3所得的余数，要用“70”去乘它；

“五（5）树梅花廿一（21）枝”——是说除以5所得的余数，要用“21”去乘它；

“七（7）子团圆正半月（15）”——“半月”是一个月30天的一半，即15日，这是说，除以 7所得的余数，要用“ 15”去乘它；

“除百零五（105）便得知”——这是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。这也就是《孙子算经》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）减之”。这样得出的差，便是所要求的这个最小的未知数了。

运用这一歌诀来解答这道“物不知数”问题，便是

2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

233-105-105=23（答略）

特点介绍

不过，用这种方法解这类问题，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除数的题目，遇到用其他数作除数的算题，它就行不通了。这一点必须引起我们的注意。

理论发展

这种“物不知数（孙子）问题”，在我国古代流传的算法名称很多。宋朝周宓称它为“鬼谷算”、“隔墙算”（之所以称“鬼谷算”，大概是因为它与传说中的哲学家鬼谷子有某些关系）；13世纪的大数学家杨辉则称它为“剪管术”。南宋数学家秦九韶将它推广，并又发现一种算法，称它为“大衍求一术”。它被传入西方后，外国人又称它为“中国剩余定理”。但是大多数人较为通俗的叫法，还是称它为“韩信点兵”（也有称“秦王暗点兵”的）。传说我国汉朝的大将韩信，计算士兵数目的方法十分特别，他不是五个五个或十个十个地数，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地报数，而是叫他们排起队伍，依次在他面前列队行进：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只将三次所余的士兵记下来，就知道了士兵的总数。他旁边的人见他并没有数士兵的数目，有时甚至还闭上了眼睛，而居然知道士兵的总数，都感到十分惊奇。所以，后人就把这种算法称为“韩信点兵”了。“韩信点兵问题”在数学史上，是个极有名的问题。西洋人直到18世纪才被瑞士数学家欧拉发现这一问题的解题规律。只拿我国南宋秦九韶的研究与他们相比，他们也晚了五百年左右的时间。

应用实例

在雷达领域中，中国剩余定理被用在脉冲多普勒雷达上，解目标的距离模糊和速度模糊，在线天线阵接收雷达中解测角的模糊；在信号处理的理论中，基于中国剩余定理的数论变化是一种重要的快速变换方法，只是目前还缺乏对其物理意义的描述而使其应用受到一定的限制；在IC设计中，应用中国剩余定理可以获得高效的IIR滤波器设计的方法;中国剩余定理还奠定了目前世界上最流行的公钥加密技术(即RSA)的基础。

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