狄利克雷L函数

对应于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函数

狄利克雷L函数，又称对应于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函数。

函数特例

在数学中，狄利克雷L函数是狄利克雷级数的特例，它是形如下式的复变量函数

在此 χ 是一个狄利克雷特征， S∈￠的实部大于一。此函数可解析延拓为整个复平面上的亚纯函数。

约翰·彼得·狄利克雷证明对所有 χ 俱有L （1，X）≠0，并借此证明狄利克雷定理。若 χ 是主特征，则 L(s,χ) 在 s = 1 有单极点。

具体内容

又称对应于模q的特征Ⅹ(n)的狄利克雷L函数, 即函数，其中q≥1,Ⅹ(n)是模q的一个特征,复变数s=σ+it,σ＞1。它在q=1时就是黎曼ζ函数。这类函数最初是由P.G.L.狄利克雷在研究算术级数中的素数分布问题时引进的。它的性质和作用,都与黎曼ζ函数类似，在许多数论问题中有重要应用。它的主要性质有：

① 当σ＞1时，，式中表示对全体素数求积。因而L(s,Ⅹ)≠0 (σ＞1)。

② 当Ⅹ0是模q的主特征时，于是，通过ζ(s)就把L(s,Ⅹ0)解析开拓到全平面。

③ 当Ⅹ是模q的非主特征时,一定存在惟一的一个模q*，使当σ＞1时，有　④ 当Ⅹ是模q的原特征时,L(s,Ⅹ)可解析开拓为整函数，且满足函数方程

，

式中τ(Ⅹ)为仅与Ⅹ有关的常数，且满足塣表Ⅹ的共轭特征,即

⑤ 对任意的模q的特征Ⅹ，有L(1,Ⅹ)≠0。

⑥设Ⅹ是模q的原特征，那么s=-(2n+α(Ⅹ))(n=0,1,2,…)是L(s,Ⅹ)的一级零点,称为“无聊零点”；L(s,Ⅹ)可能有的其他零点（称为“非无聊零点”）一定都位于带形区域0≤σ≤1中;L(s,Ⅹ)确有无穷多个非无聊零点。

⑦　设T＞0，以N(T，Ⅹ)表L(s,Ⅹ)在区域0≤σ≤1，|t|≤T中的零点个数。因此，当Ⅹ 是模q的原特征和T≥2时，有

⑧　设T＞0,，以N(α，T，Ⅹ)表L(s，Ⅹ)在区域α≤σ≤1,|t|≤T中的零点个数。再设，其中Σ表对模q的所有特征求和。因此，当T≥2时，有。此结果已被改进和推广，通常称之为L函数的零点密度定理。

⑨　在直线σ=1上，L(s,Ⅹ)≠0。由此，对任意固定的q，可推出算术级数中的素数定理。

⑩　存在绝对正常数X1，使得对任意固定的模q,在所有的函数L(s,Ⅹ)(Ⅹ modq)中,仅可能除去一个例外函数外,均在区域内无零点。如果这样的例外函数L(s,塣)存在,那么塣一定是模q的实的非主特征，且L(s,塣) 在上述区域内只有一个一级实零点戓。这一性质是狄利克雷L函数与黎曼ζ函数的一个主要差别。研究对应于实特征的L函数的实零点，是L函数论的最重要问题之一。

?　A. 佩奇于1935年证明了：存在绝对正常数X2，使得对任意的实原特征Ⅹ modq，q≥3，必有L(1,Ⅹ)≥X2q-1/2。由此可推出，存在绝对正常数X3，使得对任意的实特征 Ⅹ modq，q≥3，当时，L(σ,Ⅹ)≠0。

?　C.L.西格尔于1936年证明了：对任给的正数ε，存在正常数c3(ε)，使得对任意的实原特征Ⅹmodq,q≥3，必有。由此推出,对任给正数ε，必有正常数c4(ε)，使得对任意的实特征 Ⅹ modq，q≥3，当时，L(σ,Ⅹ)≠0。

C. L. 西格尔的结果虽然优于A. 佩奇的结果,但是常数X3(ε)和X4(ε)没有办法计算出来。

从性质⑩、?、?可推得有余项估计的算术级数中的素数定理（见素数分布）。类似于黎曼假设，有所谓广义黎曼假设,即猜测所有的狄利克雷L函数的非无聊零点都位于直线σ=1/2上，通常简记作GRH。大量的数值计算以及理论上的探讨都支持这一假设，但它还没有被证明或否定。从GRH可推出一系列重要的数论结果,虽然都是一些假设性的结果（其中有的已被无条件地证明了），但是却指出了研究L函数零点的重要意义和方向。

参考书目

K.Prachar,Primzahlverteilung,Springer-Verlag, Berlin,1957.

H.Davenport,Multiplicative Number Theory,2nd ed.,Springer-Verlag, Berlin, 1980.

零点

若 χ 是原特征，χ( ? 1) = 1，则 L(s,χ) 在 Re(s)

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