狄拉克点

锥形结构的中心点

在石墨烯的能带结构中，其布里渊区边界的高对称点上存在具有线性色散关系的上下锥形结构，这些锥形结构的顶点被称为狄拉克点。

介绍

自从 Novoselov 通过实验获得单层石墨烯晶体后，石墨烯就由于其奇特的物理性质而备受关注.与其他材料不同，石墨烯的电子性质是利用描述相对论粒子特性的狄拉克方程来进行研究的，在它的能带结构中，布里渊区的两个高对称点——K 和 K′ 点由两个具有线性色散关系的锥形能带构成，锥形能带的中心交点被称为狄拉克点。

光子晶体微结构与电子晶体微结构相似，在类石墨烯光子晶体能带结构中，也存在类似的中心奇异点，具有赝散射等奇特物理性质。2011 年，Huang 等利用偶然简并方法在正方格子光子晶体的布里渊区中心对称点Γ处实现了狄拉克点，利用等效媒质理论进行分析，发现该结构在狄拉克点的等效介电常数和等效磁导率都为零，这种正方格子结构的光子晶体可以用来实现双零折射率材料.零折射率材料包括单零折射率材料和双零折射率材料，电磁波在零折射率材料中传播时相位不发生变化，同时“双零”折射率材料的本征阻抗为 1，与自由空间阻抗匹配，可利用双零折射率材料实现很多有趣的物理现象，如电磁波波前调控，让物体隐身等。

利用圆形介质柱、环形介质柱结构光子晶体实现狄拉克点的研究已有报道，本文通过研究，发现介质矩形柱结构光子晶体也可以实现狄拉克点.通过调整参数，介质矩形柱光子晶体的能带在 Γ 点发生三重简并，形成狄拉克点，频率在狄拉克点的电磁波通过这种光子晶体时相位不发生变化，可利用这种光子晶体实现亚波长聚焦.亚波长聚焦在亚波长光刻、生物显微镜、高密度数据存储等方面具有潜在的应用价值。

光子晶体的能带结构

所研究的二维光子晶体结构如图 1 中的插图所示，边长为 d 的介质矩形柱以正方晶格的形式周期性排列在空气背景中，正方晶格的晶格常数为 a ，介质矩形柱的相对介电常数 ε 为 11.56.利用平面波展开法(PWM )计算光子晶体 TM 模(电场方向平行于柱子的轴向)的能带， d=0.3633a时的能带结构如图 1所示，其中 M 、 X 为布里渊区边缘的两个高对称点.从图中可以看出，在布里渊区的中心 Γ 点，能带具有一个三重简并态，第2条和第4条光子能带在 Γ 点处几乎是线性的，第3条光子能带几乎是水平的，因此光子晶体在Γ 点附近存在线性色。

Γ 点处的三重简并态是偶然简并形成的，保持介质矩形柱的 ε 不变，改变边长 d ，使它偏离 0.3633a，三重简并态分裂成一个两重简并态和一个单态.当 d=0.353a 时，两重简并态的频率高于单态的频率，如图2(a)所示;当 d=0.373a 时，两重简并态的频率低于单态的频率，如图2(b)所示;当 d=0.3633a时，两重简并态与单态在 Γ 点处对应不同的 d 能带具有反转现象，因此在能带反转的两个不同 d 之间必然存在一个 d 使得三个能带简并，如图2(c)所示.对于二维电介质光子晶体，当波矢 k =0 处存在狄拉克点时，如果狄拉克点是由单极子和偶极子形成，那么在狄拉克点频率的光子晶体可以等效为介电常数和磁导率都为零的材料。

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