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皮克定理

乔治·亚历山大·皮克提出的定理

皮克定理是指一个计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式，该公式可以表示为S=a+b÷2－1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形落在格点边界上的点数，S表示多边形的面积。

发现者
姓名：乔治·尼古拉斯·亚历山大·皮克（1859～1943）
全名：George Alexander Pick
国籍：奥地利
定理定义
一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点。如果取一个格点做原点O，如图1，取通过这个格点的横向和纵向两直线分别做横坐标轴OX和纵坐标轴OY，并取原来方格边长做单位长，建立一个坐标系。这时前面所说的格点，显然就是纵横两坐标都是整数的那些点，如图1中的O、P、Q、M、N都是格点。由于这个缘故，又叫格点为整点。
一个多边形的顶点如果全是格点，这多边形就叫做格点多边形。有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出。
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，皮克定理说明了其面积S和内部格点数目n、多边形边界上的格点数目s的关系：
验证推导
因为所有简单多边形都可切割为一个三角形和另一个简单多边形。考虑一个简单多边形P，及跟P有一条共同边的三角形T。若P符合皮克公式，则只要证明P加上T的PT亦符合皮克公式（I），以及三角形符合皮克公式（II），就可根据数学归纳法，对于所有简单多边形皮克公式都是成立的。
多边形
设和的共同边上有个格点。
的面积：
的面积：
的面积：
三角形
证明分三部分：证明以下的图形符合皮克定理：
所有平行于轴线的矩形；
以上述矩形的两条邻边和对角线组成的直角三角形；
所有三角形（因为它们都可内接于矩形内，将矩形分割成原三角形和至多3个第二点提到的直角三角形）。
矩形
设矩形长边短边各有个格点：
直角三角形
易见两条邻边和对角线组成的两个直角三角形全等，且相等。设其斜边上有个格点。
一般三角形
逆运用前面对2个多边形的证明： 既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。
又前面证明到若符合皮克公式，则加上的亦符合皮克公式。 那么由于矩形可以分解成1个任意三角形和至多三个直角三角形。
于是显然有，只有当这个任意三角形也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。
应用例子
证明毕克定理序列的一个神奇的性质：前一项的分母乘以后一项的分子，一定比前一项的分子与后一项分母之积大1。
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