穷竭法

数学术语

穷竭法的严格性是无可挑剔的。这对希腊数学家来说尤为可贵。事实上，严格正是希腊几何学的精神。穷竭法所完成的证明一般可分为两个步骤：首先是一个可称之为“穷竭” 的逼近程序，然后用“双重归谬法”(double reduetio ad absurdum)完成证明。

历史

有说布里松(Bryson或Bryso，450 B．C．前后)曾用过“穷竭”一词，但没有确切的证据，没有一部古代可靠的权威典籍曾将他的名字与该方法联系起来。辛普利休斯(simplicJus，公元6世纪前半叶)曾描述过智人学派的安蒂丰(Antiphon，约430 B．C．)化圆为方的努力，说他在圆内作一内接正多边形，然后将边数加倍得另一正多边形。继续此程序，则圆与正多边形之间的面积就越来越小，当面积被穷竭时，他说他就用这种方法在圆内内接了一个正多边形，其边与圆弧相合一致(因为他们很小)，由于我们可以作与任何正多边形相等的正方形，因为多边形已经作得相合于圆，我们将也能得到一个与圆相等的正方形”(SimpEcius语)。安蒂丰就这样认为自己解决了希腊几何作图的三大问题之一一化圆为方。当然，安蒂丰没有成功是明显的，可我们从这里得到的信息却是模糊的，推测他是受了德谟克利特原子论学派的影响。另外，所谓“相合一致” 是极为素朴的直觉观念。事实上，在此过程中，多边形永远不能与圆相合。无论如何，这种不断作内接正多边形的方式无疑成为后来穷竭法的滥觞。一般认为是欧多克索斯在前人工作的基础上创造了穷竭法，首次用于数学证明，并取得了最初的成果。

欧多克索斯被他的同时代人誉为神明似的人。他的著作没有流传下来，所幸欧几里得将其成果收入了“几何原本中。《几何原本》第Ⅻ篇中的一些命题是属于欧多克索斯的。欧多克索斯一扫安蒂丰对割圆的补素模糊甚至是错误的观念，而将穷竭法建立在无限分割潜在可能性的基础上。他并没有使用诸如“无限” 、“(圆与正多边形) 相合”之类的字眼。正由于此，有的数学史家认为“穷竭法避开了无限这个陷阱”。应该指出，穷竭法所避用的只是实无限罢了，这不仅因为当时缺少处理实无限的手段，还由于亚里士多德在评述当时数学家的观点时所说；事实上，他们不需要无限(按指实无限)，也不使用无限。他们只是假定有限的直线能随意延长而已。因此，从证明的需要来说，只要有这种无限(按指潜无限)也就够了。

欧多克索斯的这种潜无穷观有其哲学渊源。在希腊哲学中，潜无穷观念的初次表白是智人学派的安纳萨戈拉斯(Anaxagoras，约499 B．C．～427 B．C．)作出的。安氏认为万物都可以无限地分割，他以抽象的形式分析分割过程，而不管施行此过程的实际上的可能挂，将无限分割看作是潜在地可能宴现的过程。欧多克索斯正是吸收了安氏思想的合理内涵。

发展

作为一种严格的证明手段，穷竭法曾起过相当大的作用，但其局限性也是明显的。首先是它建立在几何直观基础上的双重归谬证明是烦琐的，因而给应用带来了困难。其次它并不是一种适于发现新结果的方法。从发展眼光看，它必须进行修改以使其更为实用和简便。

事实上，16、17世纪的数学家们已认识到穷竭法逻辑上的优美与希腊几何形式的不必要的烦琐的差别，而增长了纯计算的兴趣(这包括了对极限的模糊处理)。他们的探索推动了穷竭法向积分发展，其间的种种努力促成了积分的诞生。大约有半打以上的数学家在这方面做出了实质性的贡献。而这些工作差不多都来源于阿基米德的工作。

计算面积，体积以及求物体的重心等的重要的新方法是从恪改阿基米德的穷竭法开始的。

企图修改穷竭法的途径有两种：一是对不同的直(曲)线形用不同类型的直(曲)边形去逼近，而l7世纪的数学家则采用了系统的程序'在老方法中用到双重归谬的地方，使逼近程序模糊地成为无穷，当时并没有明显地从极限上着想。后一条新途径是斯蒂文(Simon Stevin)于1586年(即莱布尼兹于1684年和牛顿1687年分别首次发表他们的微积分方面著作前一个世纪)在他的《静力学》(Statics)中提出的后来有许多追随者，包括费马在内。斯蒂文的步骤向极限方法的形成迈进了一步。当然当时的极限观念是模糊的，但数学家们采用的不严格的外理方法却得到了丰富的成果，如开普勒、卡瓦列里。其时似乎没有数学家顾虑到其严格的基础问题。卡瓦列里就曾说过： “严格是哲学所关心的，而不是几何学所关心的事情。”

直到二百年后，在柯西等人那里分析学才又重新获得了它的严格性。这种螺旋式上升正是事物发展的一般道路。在向积分的发展方向上，开普勒、费马、格雷戈里、卡瓦列里、瓦利斯等人都做出了自己的贡献。到莱布尼兹及牛顿创立了微积分后，穷竭法使被根本地修改了。今天，穷竭法已成了历史的名词，但历史不应该忘记它。

穷竭法与积分

如所周知，将积分定义为和的极限是柯西给出的。一般认为他的定义是受到教学上用矩形逼近直线形面积启发的。至于他是否受到希腊数学家的影响、影响多大我们不得而知。但无论如何，尽管穷竭法的推证是几何的而非算术的。但是，穷竭法中并没有显示出积分的法则，它只是积分的一种简单情形。这里的悬殊是观念性的，而不仅仅廷词汇与相对难易的问题虽然知道一种技巧与将此技巧一般化之间差别不是太大，但是积分法则是依赖于整套极限理论的，这是穷竭法所不能企及的。但我们仍然可以说，穷竭法含有原始的积分思想，它的思想已深深地渗透到了其后的数学中。

相关研究

古希腊的安提芬(Antiphon 480-403BC)最早表述了穷竭法，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。

后来，古希腊数学家欧多克斯(Eudoxus of Cnidus, 408-355 BC)改进了安提芬的穷竭法。将其定义为：“（任意给定2个正的量）在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小”。

用现代语言描述是：

任意给定两个正的量b

古希腊数学家阿基米德进一步完善了“穷竭法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。阿基米德最早使用穷竭法进行了积分运算，是微积分学的先驱。穷竭法被后人称为阿基米德原理。

例如，计算y=x2与x轴在x=0和x=1之间围成的曲边三角形的面积，把底边[0,1]分成n等分，分点分别是1/n,2/n,…(n-1)/n，然后在每个分点处作底边的垂线，这样曲边三角形被分成了n个窄条，对每个窄条，近似用矩形条替代。每个矩形的底宽1/n，高(i/n)2(i=0,1,2,…,n-1),把这些矩形条加起来，得到S的近似Sn：

Sn=0·(1/n)+(1/n)2·(1/n)+(2/n)2·(1/n)+…+[(n-1)/n]2·(1/n)=1/n3·[n(n+1)(2n+1)/6]=1/6·(1+1/n)(2+1/n)

对每个n，都可以算出相应的Sn的值，一方面，随着n的增大Sn的值，来越接近S。但另一方面，所得的Sn始终都是S的近似值，为了得到S的精确值，使n无限制的增大，从几何上看，面积Sn的那个多边形越来越贴近曲边三角形，即阿基米德所说的穷竭曲边三角形，从数值上看，Sn无限接近一个确定的数，这个数就是曲边三角形的面积S，这个数等于1/3,当年，阿基米德就是通过这个方法求得结果。

用穷竭法计算曲边形的面积时，对不同的曲边形，采用不同的直边形去逼近。并且计算的过程中采用了特殊的技巧，因而不具有一般性，无法向一般的曲边形推广。

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